Поверхні

Рівняння поверхні задається наступними формами:

F(х, у, z)=0 – неявна;

z = f(x, у) - явна;

x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v) -параметрична.

Диференціал дуги або лінійний елемент поверхні

(1.4)

де

Праву частину рівняння (1.4) називають першою квадратичною формою поверхні. Коефіцієнти E, F, G, що є функціями координат u та v, залежать тільки від положення точки на поверхні. Через дані коефіцієнти можна виразити також кут між кривими та площі фігур, тобто перша квадратична форма визначає метрику поверхні. При вигинанні поверхні без розтягів та розривів її рівняння звичайно змінюється, але метрика залишиться тією ж, тобто перша квадратична форма при вигинанні поверхні зберігається.

В сфероїдальній геодезії застосовується ортогональна система криволінійних параметричних координат, які утворюють на поверхні прямокутну сітку координат. В такому випадку рівняння (1.4) прийме наступний вид:

(1.5)

Важливе значення у сфероїдній геодезії мають нормальні перерізи. Вони отримуються від перетину поверхні площиною, що проходить через нормаль поверхні. Такі площини, як було вже вище сказано, називаються нормальними.

В теорії поверхонь доказується, що всі криві на поверхні, які проходять через задану точку в одному і тому ж напрямі (тобто які мають спільну дотичну) і які мають спільну стичну площину, мають в цій точці однакову кривину К . Відповідно, кривина довільної кривої рівна, кривині плоского перерізу, що є слідом перетину поверхні стичною площиною даної кривої.

Якщо позначити радіус кривини кривої, у якої головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні через R₀ , тоді радіус кривини якої завгодно кривої на поверхні буде визначатися згідно формули:

(1.6)

де v - кут, утворений головною нормаллю кривої та нормаллю до поверхні. Формула (1.6) виражає відому теорему Меньє:

Радіус кривини якої завгодно кривої на поверхні рівний радіусу кривини нормального перерізу ,що має з нею спільну дотичну, помноженому на косинус кута між нормаллю до поверхні та головною нормаллю кривої.

Величина називається ще нормальною кривиною.

В нормального перерізу хоча б в одній точці головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні. Ця точка називається геодезичною точкою. В геодезичній точці нормального перерізу кут v (ф-ла 1.6) рівний нулю. Відповідно, нормальна кривина рівна кривині нормального перерізу в його геодезичній точці. Криву на поверхні, в якої всі точки геодезичні, тобто головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні у всіх точках, називають геодезичною лінією. Геодезичні лінії на поверхні відіграють роль прямих на площині.

1.6. Чисельні методи у сфероїдній геодезії

Ще в недалекому минулому всі обчислення в області сфероїдальної геодезії виконувались з допомогою логарифмів, а пізніше з допомогою малопотужної обчислювальної техніки. При обчисленнях приходилось користуватися об'ємними таблицями тригонометричних функцій та багаточисельними таблицями різноманітних величин, що в основному залежали від широти.

В сучасних умовах, коли ми майже всі масові обчислення виконуються на ЕОМ, абсолютно відпала необхідність в складанні спеціальних таблиць для геодезичних обчислень. Достатньо мати лише обмежене число постійних величин, необхідних для розв'язку тої чи іншої задачі.

Прогрес обчислювальних методів з використанням сучасних програмних засобів дозволяє навіть обмежитись записом формул в самому загальному виді, іноді тільки у виді диференціальних рівнянь, а подальші перетворення віднести безпосередньо до процесу роботи на комп'ютері.

Характерним прикладом вибору обчислювальних методів на ЕОМ є застосування чисельних методів для розв'язку диференціальних рівнянь і обчислення еліптичних інтегралів. Такі методи були відомі давно, але на практиці не застосовувались, поскільки були досить трудомісткі і складні для ручних обчислень. Алгоритмів, якими користуються в сучасних чисельних методах дуже багато. Якщо їх реалізувати у вигляді достатньо універсальних програм, то вони можуть стати базовими і слугувати основою сучасних геодезичних технологій.

При розв'язуванні задач сфероїдної геодезії приходиться мати справу з наступними обчислювальними задачами:

• апроксимація функцій (поліномінальна, дробово-раціональна),

• чисельне інтегрування (квадратурні формули Гаусса, Чебишева),

• чисельні методи розв'язку диференційних рівнянь з початковими умовами (методи Рунге - Кутта).

Апроксимація (наближення) функцій - це заміщення різноманітних функцій "близькими" до них, але більш зручними для використання функціями. До задач апроксимації функцій з параметрами, що входять лінійно, відносяться задачі апроксимації поліномами, а з параметрами, що входять нелінійно -- дробово-раціональні апроксимації. Наближене представлення неперервної функції з допомогою полінома степені п можна отримати з допомогою ряду Тейлора та цілої низки його модифікацій, а одним із найбільш ефективних методів отримання необхідного числа дробово-раціональних наближень заданої функції є метод ланцюгових дробів.

Приклади апроксимації функції, що мають застосування в сфероїдальній геодезії, будуть наведені в кінці даної книги. Ми лише відмітимо, що безпосереднє отримання коефіцієнтів цих функцій зв'язане з довгими алгебраїчними обчисленнями і на даний час такий шлях не є ефективним, оскільки простіше виконати обчислення із заданою функцією.

Наближене обчислення визначеного інтеграла можна проводити різними методами: Сімпсона, Гаусса, Чебишева, Ромберга тощо. Розглянемо коротко тільки деякі з них.

Для обчислення інтеграла

методом Сімпсона інтервал інтегрування ділить на п рівних частин (п - парне число). Для кожної вузлової точки k (k=0,1,2,...,n) з кроком за аргументом обчислюють значення підінтегральної функції . Після цього визначений інтеграл може бути обчислений за формулою

(1.10)

За Гауссом наближене обчислення визначеного інтеграла полягає в наступному. В проміжку між граничними значеннями аргументів х=а і х =b вибирають n вузлових точок за рівнянням

,

де v_і - деяке постійне число менше одиниці, віднесене до відповідної вузлової точки. Для кожної вузлової точки за аргументом x_і обчислюють значення підінтегральної функції, яке потім домножують на деяке постійне число що відповідає цій точці.

Значення постійна Rt в залежності від n

n=1	v1=0.5	R1=1
n=2	v1=1-v2=0.21132487	R1=R2=0.5
n=3	v1=1-v3=0.1127016654 v2=0.5	R1=R3=0.2777777778 R3=0.4444444444
n=4	v1=1-v4=0.0694318442 v2=1-v3=0.3300094782	R1=R4=0.1739274226 R2=R3=0.3260725774
n=5	v1=1-v5=0.0469100770 v2=1-v4=0.2307653449 v3=0.5	R1=R5=0.1184634425 R2=R4=0.2393143352 R3=0.2844444444
n=6	v1=1-v6=0.0337652429 v2=1-v5=0.1693953068 v3=1-v4=0.3806904070	R1=R6=0.0856622462 R2=R5=0.1803807865 R3=R4=0.2339569673

Значення інтеграла можна обчислити за наступною формулою:

(1.11)

права частина якої тим ближча до точного значення інтегралу, чим більше використовується вузлових точок.

Метод Рунге-Кутта належать до багатоточкових однокрокових методів чисельного інтегрування систем звичайних диференційних рівнянь. Суть методу Рунге-Кутта полягає в наступному. Нехай функція визначається диференційним рівнянням

та початковими значеннями у=у₀ при х=х₀. Слід знайти чисельне значення функції у_n для заданого значення аргумента

Для визначення у_n послідовно обчислюють значення функцій у_і для рівновіддалених проміжних значень x_і=x₀+h_i (і=1,2,…n) причому за початкові приймають значення x_і-1 і y_n-1, знайдені в попередньому обчисленні. Приріст аргумента є кроком інтегрування величина якого встановлюється в залежності від заданої точності визначення функції. Функцію y_і обчислюють за формулою

(1.12)

де

(1.13)

При виводі цих формул вихідним рівнянням послужив розклад функції y_і в ряд Тейлора за степенями h до четвертого порядку.

Для розв'язування системи звичайних диференційних рівнянь

будується система рівновіддалених точок x_і=x₀+ih . Обчислення y_ji в кожній точці здійснюється за формулою

(1.14)

де j - номер рівняння системи, і - номер точки інтегрування. Коефіцієнти k_ji

визначаються за формулами, аналогічними (1.13).

Класичний метод Рунге-Кутта частково модифікувався для практичних застосувань (в основному для прискорення та спрощення процесу обчислень). Найбільш відомі модифікації Мерсона (1958) та Інгланда (19..). На даному рівні розвитку обчислювальних засобів особливого виграшу ці модифікації не дають, а отже класичний метод Рунге-Кутта залишається базовим методом чисельного інтегрування диференційних рівнянь першого порядку.