1.8. Метод Гаусса

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Элементарные преобразования системы уравнений состоят в выполнении следующих действий:

1. перестановка местами двух уравнений;

2. умножение обеих частей какого-либо уравнения на число λ ≠ 0;

3. прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на число.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Исключим переменную x из 2-го и 3-го уравнений системы. Умножим первое уравнение на (-2) и прибавим ко 2-му уравнению, затем умножим 1-е уравнение на (-1) и прибавим к 3-му уравнению системы. Получим систему уравнений

Разделим 2-е уравнение на (-3) и получим систему уравнений

Исключим переменную y из 3-го уравнения системы, для этого умножим 2-е уравнение на 2 и прибавим к 3-му уравнению, получим систему уравнений

Выразим переменную z из 3-го уравнения, y – из 2-го уравнения, переменную х из 1-го уравнения

Имеем x=1, y=2, z=3 – единственное решение системы.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Умножим 1-е уравнение на (-2) и прибавим ко 2-му уравнению, затем прибавим 1-е уравнение к 3-му уравнению. Получим систему уравнений:

Далее умножим 2-е уравнение на 2 и прибавим к 3-му уравнению:

В полученной системе имеем противоречие 0 = 6, значит, исходная система несовместна.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

Исключим переменную x₁ из 2-го , 3-го и 4-го уравнений системы. Умножим 1-е уравнение на (-2) и прибавим ко 2-му и 3-му уравнениям, умножим 1-е уравнение на (-3) и прибавим к 4-му уравнению. Получим систему уравнений

Исключим переменную x₂ из 3-го и 4-го уравнений системы. Умножим 2-е уравнение на и прибавим к 3-му и 4-му уравнениям. Получим систему уравнений

Исключим переменную х₃ из 4-го уравнения системы. Для этого умножим 3-е уравнение на (-1) и прибавим к 4-му уравнению системы. После удаления последнего уравнения система уравнений примет вид

Из этой системы обратным ходом метода Гаусса находим

Так как х₄ может принимать любые значения, то система имеет бесконечное множество решений.

Примеры для самостоятельной работы

Решить следующие системы линейных уравнений:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

1.9. Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

23