3 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) имеет вид:

 (8)

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O_x (у₂-у₁=0) или оси O_у (х₂-х₁=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=х₁

Пример 4. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1).

Решение: Подставляя в уравнение (8) x₁=1, y₁=2, x₂=-1; y₂=1 получим:   откуда   или 2у-4=х-1, или окончательно х-2у+3=0

4 Угол между двумя прямыми

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями:

l₁: y=k₁x+в₁

l₂: y=k₂x+в₂

c углами наклона к оси Ох соответственно φ₁ и φ₂ (рис.2).

Обозначим через φ₁ угол наклона прямой l₁ к оси О_х и через φ угол, на который нужно повернуть прямую l₁ до совпадения с l₂ (рис. 6). 

Тогда φ₁+φ=φ₂ будет, очевидно, углом наклона прямой l₂ к оси O_х. Отсюда φ=φ₂-φ₁и если прямые l₁ и l₂ не являются перпендикулярными, то (по известной формуле тригонометрии)

Заметив, что tgφ₁=k₁ и tgφ₂=k₂ получим:

 (9)

Пример 5. Найти угол между прямыми y=2x-3 и 3x+y-2=0

Решение: Если перенумеровать прямые в том порядке, как они заданы, то угловой коэффициент прямой l₁ будет k₁=2 а для прямой l₂ будет k₂=-3 Тогда по формуле (9) получим   откуда φ=45⁰

5 Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов.

tgφ₁=tgφ₂ или k₁=k₂

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1

k₁k₂=-1

Пример 6. Проверить, выполняется ли условие параллельности прямых 2х-3у+1=0 и 4х-6у-5=0 ?

Решение: Угловые коэффициенты этих прямых  , т.е. условие параллельности выполнено.

Пример 7. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку (1;2) параллельно прямой 2х-3у+1=0.

Решение. Угловой коэффициент k прямой линии, для которой нужно составить уравнение, равен угловому коэффициенту   данной прямой в силу условия параллельности этих прямых. Таким образом,   получим искомое уравнение:   или, умножая на 3: 3y-6=2(x-1), или 3y-6=2x-2, откуда окончательно находим: 2x-3y+4=0

Пример 8. При каком значении k уравнение y=kx+1 определяет прямую, перпендикулярную к прямой у=2х-1?

Решение: Угловой коэффициент второй прямой k₂=2. Условие перпендикулярности дает 2k=-1, откуда 

Пример 9. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку (-1;1) перпендикулярно к прямой 3х-у+2=0.

Решение: Искомый угловой коэффициент обозначим через k₁, угловой коэффициент данной прямой k₂, как видно из ее уравнения, равен 3. Условие перпендикулярности k₁k₂=-1 нам дает: 3k₁=-1, откуда  . Таким образом, искомое уравнение  , или 3у-3=-х-1, и окончательно x+3y-2=0

6 Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида Ax+By+C=0

(где А, В и С- постоянные коэффициенты, причем А²+В²≠0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Частные случаи:

1. С=0; А≠0; В≠0. Прямая, определяемая уравнением Ах+Ву=0, проходит через начало координат. 

2. А=0, В≠0; С≠0. Прямая, определяемая уравнением Ву+С=0 (или у=b, где  ), параллельна оси (ох). 

3. В=0; А≠0; С≠0. Прямая, определяемая уравнением Ах+С=0 (или  ), параллельна оси Оу. 

4. В=С=0; А≠0. Прямая определяемая уравнением Ах=0 (или x=0 поскольку А≠0), совпадает с осью Оу. 

5. А=С=0; В≠0. Прямая, определяемая уравнением Ву=0 (или у=0, поскольку В≠0), совпадает с осью Oх.

Если в общем уравнении прямой В≠0, то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида y=kx+в (здесь   ). Его называют уравнением с угловым коэффициентом поскольку где -угол, образованный прямой с положительным направлением оси Oх. Свободный член уравнения в равен ординате точки пересечения прямой с осью Oу.