4. Кривые второго порядка
Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат.
В общем виде уравнение имеет вид:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.
1. Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от данной.
Каноническое уравнение окружности
(х х0)2 + (у у0)2 = R2,
где точка С(х0, у0) – центр окружности, R – ее радиус.
Пример. Определить вид кривой х2 + у2 6х + 4у – 12 = 0.
Выделим полный квадрат для каждой переменной х и у:
х2 6х + 9 – 9 + у2 + 4у + 4 – 4 – 12 = 0, (х 3)2 + (у + 2)2 = 25 – это уравнение окружности с центром в точке С(3; 2) и R = 5.
2. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а). F1M + F2M = 2a.
Каноническое
уравнение эллипса имеет вид: 
,
(b2 = a2 c2, a > c), F1( с; 0) и F2 (с; 0) – фокусы.
Точки А1 (а,
0), А2 (а, 0), В1 (0, b),
В2 (0, b) называются
вершинами эллипса, отрезки ОА2 =
а, ОВ2 = b – большая
и малая полуоси. Величина
называется эксцентриситетом и
характеризует вытянутость эллипса.
Пример. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его большую полуось а = 12 и эксцентриситет = 0,5.
По определению
,
,
с = 6. Из соотношения b2
= а2 с2
определим b2 = 144
36 = 108, тогда уравнение эллипса примет
вид
.
3. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная (2а).
F1М F2М = 2а.
Каноническое
уравнение гиперболы 
,
(b2
= c2
- a2),
F1( с, 0), F2( с, 0) – фокусы.
Отрезки ОА2 = а – действительная полуось, ОВ2 = b – мнимая полуось гиперболы.
- асимптоты
гиперболы,
- эксцентриситет.
Пример.
Найти каноническое уравнение гиперболы,
зная уравнения асимптот
и расстояние F1F2
= 20.
Зная F1F2
= 2с = 20, находим с = 10. Из уравнений асимптот
и
,
имеем
.
Составим систему уравнений:
,
,
а2
= 64, b2
= 100 – 64 = 36. Уравнение гиперболы примет
вид
.
4. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F , называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой, FM = NM.
Каноническое уравнение параболы, симметричной оси Ох,
у2 = 2рх (р > 0).
- фокус,
- директриса, р – расстояние от фокуса
до директрисы.
Уравнение параболы,
симметричной оси Оу, имеет вид: х2
= 2ру,
- фокус,
- директриса.
Пример. Найти уравнение параболы, проходящей через точку А(2, 4) и симметричной оси Ох.
В каноническое уравнение у2 = 2рх подставим координаты точки А: 16 = 4р, р = 4. Уравнение параболы примет вид у2 = 8х.
Примеры для самостоятельной работы
Составить каноническое уравнение эллипса, зная его малую полуось b = 2
и F1
F2
= 8.Найти координаты фокусов, полуоси и эксцентриситет гиперболы 9х2 16у2 = 144.
Найти каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки А (2; 1) и В( - 4;
).Определить вид кривой у2 2х + 4у + 2 = 0.
Найти фокус и уравнение директрисы параболы у2 = 24х.