II. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Пусть - квадратная матрица размерности . Собственными значениями

и собственными векторами этой матрицы называются соответственно числа и матрицы - столбцы , удовлетворяющие уравнению .

Пример. Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы Паули . Для этого нам надо решить уравнение или более развернуто . Видим, что мы имеем систему из двух уравнений для нахождения трех неизвестных величин . Очевидно, что эта система имеет следующие два решения: , - произвольное число, и , , - произвольное число. Следовательно, матрица имеет два собственных значения, каждому из которых соответствует свой собственный вектор: , и , , где - произвольное число.

III. Ранг матрицы.

Рассмотрим - матрицу

.

Определение. Минором -го порядка матрицы называется определитель -го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых строк и столбцов матрицы ( ).

Число миноров - го порядка -матрицы равно , где - биномиальный коэффициент.

Определение. Если у матрицы есть минор -го порядка, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю, то говорят, что ранг матрицы равен ( ). При этом любой минор -го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором. Ранг матрицы обозначают или .

Отметим свойства ранга матрицы.

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть нулевую строку (столбец), то ранг матрицы не меняется.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Определить ранг матрицы можно разными способами.

1. Приведение матрицы к канонической матрице.

Определение. Матрицу называют канонической, если у нее в начале главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

Ранг матрицы можно найти, если, используя элементарные преобразования, привести ее к канонической матрице. Число единиц на главной диагонали канонической матрицы равно рангу исследуемой матрицы.

Пример. Матрица

приводится к канонической матрице

.

Ранг матрицы равен двум.

2. Приведение матрицы к квазитреугольной форме.

Пример. Матрица

приводится к квазитреугольной форме

.

Минор третьего порядка этой матрицы, стоящий на пересечении первых трех строк и первых трех столбцов равен пяти. Следовательно, ранг матрицы равен трем.

3. Метод окаймляющих миноров.

Предположим, что мы нашли в исследуемой матрице минор -го порядка , который не равен нулю. Далее следует рассматривать миноры -го порядка, содержащие в себе минор , до тех пор пока не найдется ненулевой минор этого порядка. Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен . Если же найден ненулевой минор -го порядка , то начинается исследование миноров -го порядка, окаймляющих найденный на предыдущем шаге минор . Шаги эти повторяются до определения ранга матрицы.

IV. Группы матриц.

1. Очевидно, что все - матрицы образуют группу относительно сложения в качестве бинарной операции.

2. Все невырожденные - матрицы образуют группу с законом композиции – умножение. Эта группа называется полной линейной группой и обозначается (или , если элементами матрицы являются комплексные числа).

3. Подгруппой полной линейной группы является ортогональная группа, которую образуют ортогональные матрицы. Ее обозначают .

4. Другой подгруппой полной линейной группы является унимодулярная линейная группа . Элементы этой группы удовлетворяют свойству .

5. Все -матрицы, которые удовлетворяют свойствам и , образуют собственную ортогональную группу . - подгруппа групп , (и, очевидно, ).

6. Рассмотрим далее матрицы, заданные над полем комплексных чисел. Унитарные матрицы, удовлетворяющие свойству , образуют унитарную группу , которая является подгруппой полной линейной группы .

7. Пусть и . Матрицы, удовлетворяющие этим двум свойствам, также образуют группу, обозначаемую . Эта группа играет большую роль в теории элементарных частиц и называется собственной унитарной группой.

ЗАДАЧИ