Распределение предприятий

по численности промышленно-производственного персонала

Группы предприятий по числу работающих, чел	Число предприятий
200 — 300	3
300 — 400	7
400 — 500	30
500 — 600	20
Итого	60

Наибольшее число предприятий (30) соответствует численности работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Тогда, = 400 чел., = 100 чел., = 30, = 7, = 20.

Отсюда,

чел.

Медиана (Ме) – величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части.

Например, стаж пяти рабочих составляет 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих.

Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Допустим, в бригаде шесть человек, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5 лет.

Для определения медианы в дискретном ряду необходимо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, равной или превышающей половину.

Пример 3.

Определить медиану заработной платы рабочих.

Таблица 7

Распределение рабочих по заработной плате

Заработная плата рабочих в месяц, руб.	Число рабочих	Сумма накопленных частот
2 000	2	2
3 000	6	8 (2+6)
4 000	16	24 (8+16)
6 000	12	-
8 000	4	-
Итого	40

В данном примере половина суммы частот - 20. Накопленная сумма частот ряда равна 24-м, соответствующая сумме 4 000 руб. Таким образом, М_е = 4 000 руб.

В интервальном вариационном ряду медиана рассчитывается по формуле:

,

где – нижняя граница медианного интервала,

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда,

– накопленная частота домедианного интервала,

– частота медианного интервала,

n – число групп.

Для вычисления медианы необходимо определить медианный интервал. Медианным является интервал, в котором накопленная частота равна или превышает половину суммы частот.

Пример 4.

Определить медиану числа рабочих.

Таблица 8

Группы предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных частот
200 — 300	3	3
300 — 400	7	10 (3+7)
400 — 500	30	40 (10+30)
Итого	40

В данном примере накопленная частота, равная половине всех частот - 20, соответствует медианному интервалу 400 – 500 чел., в котором находится медиана.

Известно, что:

Отсюда,

чел.

Значения признака, делящие ряд на четыре равные части называются квартилями, на пять частей – квинтилями, на десять частей – децилями, на сто частей – процентилями.

Различие между средней величиной ( ) и структурными средними заключается в том, что величины структурных средних не зависят от значений признака на краях ранжированного ряда.

4. На графике откладываются: среднее значение варьирующего признака, мода и медиана. На основе соотношения , М_о, М_е дается подтверждение или опровержение предварительного вывода о характере симметрии или асимметрии относительно оси.

Если соотношение имеет вид М_о М_е , то следует сделать вывод о правосторонней асимметрии.

Если же соотношение обратное М_е М_о, то делается вывод о левосторонней асимметрии в данном ряду. При несоответствии полученных значений ни одному из неравенств от вывода воздерживаются.

5. Рассчитываются абсолютные показатели вариации: размах вариации R, сумма квадратов отклонений.

Размах (амплитуда) вариации – разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности:

R = x_max - x_min.

Сумма квадратов отклонений:

.

6. Рассчитываются средние показатели вариации, которые отражают среднее отклонение каждой варианты варьирующего признака от его типичной (средней) величины: среднее линейное отклонение а, среднее квадратическое отклонение , дисперсия .

Размах вариации и сумма квадратов отклонений показывают лишь максимальное различие значений признака, но не могут измерять вариацию внутри совокупности.

Среднее отклонение значений признака от средней арифметической величины может решить эту проблему, однако по известному свойству оно равно нулю. Чтобы избежать этого в среднем линейном отклонении используется модуль отклонений, а в среднеквадратическом отклонении – квадрат отклонений.

Среднее линейное отклонение:

.

Среднее квадратическое отклонение:

.

Дисперсия:

.

Абсолютные и средние показатели вариации измеряются в тех же единицах измерения, как и сам варьирующий признак.

7. Рассчитываются относительные показатели вариации, которые отражают степень неравномерности распределения варьирующего признака внутри совокупности. Т.е. указывают на сколько процентов в среднем величины отдельных значений варьирующего признака отклоняются от их средней величины: относительный размах вариации , относительное линейное отклонение m, относительное квадратическое отклонение (коэффициент вариации) V.

Относительные показатели рассчитываются как отношения абсолютных показателей силы вариации к средней арифметической величине признака.

Относительный размах вариации:

.

Относительное линейное отклонение:

.

Относительное квадратическое отклонение (коэффициент вариации):

На основании результатов расчета коэффициента вариации делается вывод о степени неравномерности распределения варьирующего признака внутри совокупности.

Если V < 10 % - вариация слабая, следовательно распределение равномерное или однородное; при 10 % < V < 25 % - вариация умеренная; при 25 % < V < 40 % - вариация сильная; если V > 40 % - вариация очень сильная, т.е. распределение неравномерное или разнородное.

Пример 5.

Вычислить показатели вариации по двум совокупностям, сравнить.

Таблица 9

Совокупность	Значение х 1	Значение х 2
Первая	24	26
Вторая	49	1

Обе совокупности состоят из двух единиц, суммарное значение признака в обеих совокупностях равно 50, средняя величина также одинакова:

.

Однако внутри совокупности вариация разная:

R₁ = 26 – 24 = 2 R₂ = 49 – 1 = 48

Сумма квадратов отклонений₁ = (24 – 25)² + (26 – 25)² = 2

Сумма квадратов отклонений₂ = (49 – 25)² + (1 – 25)² = 1 152

а₁ = (|24 – 25| + |26 - 25|) / 2 = 1 а₂ = (|49 – 25| + |1 - 25|) / 2 = 24

Сравнивая все полученные показатели, очевидно, что вариация в первой совокупности очень слабая, а во второй – очень сильная.

Однако, оценка степени интенсивности вариации на основании этих показателей возможна только для каждого отдельного признака. При этом в одном случае, когда V = 10 % вариация считается слабой (урожайность картофеля), в других случаях – очень высокая (рост людей).

Задача 3. «Дисперсионный анализ»

Задание: на основе полученной в первой задаче группировки провести дисперсионный анализ и сделать вывод о наличии или отсутствии связи между X или Y.

Текст лекции:

Дисперсионный анализ – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

Первоначально (1918г.) дисперсионный анализ был разработан английским математиком – статистиком Р.А. Фишером для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий получения максимального урожая различных сортов сельскохозяйственных культур.

При постановке опыта необходимо соблюдение условий:

1. Каждый вариант опыта необходимо проводить на нескольких единицах наблюдения (групп животных, участков поля и т.п.)

2. Распределение единиц наблюдения между вариантами опыта должно быть случайным, а не преднамеренным.

В дисперсионном анализе используется F-критерий (критерий Р.А. Фишера), представляющий отношение двух дисперсий:

,

где d_факт, d_ост – факторная (межгрупповая) и остаточная (внутригрупповая) дисперсии на одну степень свободы соответственно.

Факторная и остаточная дисперсии являются оценками дисперсии совокупности, рассчитываются по выборочным данным с учетом числа степеней свободы вариации.

Факторная (межгрупповая) дисперсия объясняет вариацию результативного признака под влиянием изучаемого фактора.

Остаточная (внутригрупповая) дисперсия объясняет вариацию результативного признака, обусловленную влиянием прочих факторов (за исключением влияния изучаемого фактора).

В сумме факторная и остаточная дисперсии дают общую дисперсию, выражающую влияние всех факторных признаков на результативный.