Примеpы:
2.4. Арифметические операции в позиционных системах счисления
Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
Сложение
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
Сложение в двоичной системе |
Сложение в восьмеричной системе |
Сложение в шестнадцатеричной системе
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления
Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516
Шестнадцатеричная: F16+616
Проверка. Преобразуем полученные
суммы к десятичному виду:
101012
= 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,
258
= 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21,
1516
= 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.
Пример: Сложим числа 141,5 и 59,75.
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25 311,28 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 201,25 C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201,25
Вычитание
Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду: 10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5; 215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8-1 = 141,5; 8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16-1 = 141,5.
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Умножение в двоичной системе |
Умножение в восьмеричной системе |
Примеp: Перемножим числа 115 и 51.
Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865; 133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865.
Деление
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример Разделим число 5865 на число 115.
Восьмеричная: 133518 :1638 Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду: 1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6*81 + 3*80 = 51.
Упражнения
1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
2. Какие целые числа следуют за числами:
а) 12; |
е) 18; |
п) F16; |
б) 1012; |
ж) 78; |
м) 1F16; |
в) 1112; |
з) 378; |
н) FF16; |
г) 11112; |
и) 1778; |
о) 9AF916; |
д) 1010112; |
к) 77778; |
п) CDEF16 ? |
3. Какие целые числа предшествуют числам:
а) 102; |
е) 108; |
л) 1016; |
б) 10102; |
ж) 208; |
м)2016; |
в) 10002; |
з) 1008; |
н) 10016; |
г) 100002; |
и) 1108; |
о) A1016; |
д) 101002; |
к) 10008; |
п) 100016 ? |
4. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100x = 1 · x2 + 0 · x1 + 0 · x0, 21x = 2 · x1 + 1 · x0, 24x = 2 · x1 + 4 · x0. Таким образом, x2 = 2x + 2x + 5 или x2 - 4x - 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5. Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.
5. В какой системе счисления справедливо следующее:
а) 20 + 25 = 100;
б) 22 + 44 = 110?
6. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
7. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
а) 10110112; |
е) 5178; |
л) 1F16; |
б) 101101112; |
ж) 10108; |
м) ABC16; |
в) 0111000012; |
з) 12348; |
н) 101016; |
г) 0,10001102; |
и) 0,348; |
о) 0,А416; |
д) 110100,112; |
к) 123,418; |
п) 1DE,C816. |
8. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
а) 12510; б) 22910; в) 8810; г) 37,2510; д) 206,12510.
9. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцате-ричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
а) 1001111110111,01112; |
г) 1011110011100,112; |
б) 1110101011,10111012; |
д) 10111,11111011112; |
в) 10111001,1011001112; |
е) 1100010101,110012. |
10. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: а) 2СE16; б) 9F4016; в) ABCDE16; г) 1010,10116; д) 1ABC,9D16.
11. Перевести числа в двоичную системы счисления:
(25) (11001)2
(37) (100101)2
(F53)16 (111101010011)2
(FA)16 (11111010)2
(542)8 (101100010)2
(12,78)10 (1100,11001…)2
(35,25)10 (100011,01)2
(73,05)8 (111011,000101)2
(C5,91)16 (11000101,10010001)2
(17,3E)16 (10111,0011111)2
12. Перевести из двоичной в шестнадцати-, восьми- и десятеричную системы.
1. (1001001111)2 (24F)16 (1117) 8 (591)10
2. (110011101)2 (19D)16 (635) 8 (413)10
3. (10101,0101)2 (15,5)16 (25,24) 8 (21,3125)10
4. (1101110,11)2 (6E,C)16 (156,6) 8 (110,75)10
5. (101,01)2 (5,4)16 (5,2) 8 (5,25)10
6. (110,101)2 (6,A)16 (6,5) 8 (6,625)10
7. (1100,11)2 (C,C)16 (14,6) 8 (12,75)10
8. (1,1)2 (1,8)16 (1,4) 8 (1,5)10
9. (101101,00101)2 (2D,28)16 (55,12) 8 (45,15625)10
10. (10001,0011)2 (11,3)16 (21,14) 8 (17,1875)10
13. Сложить числа в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе и проверить путем перевода в десятеричную систему слагаемых и суммы.
(11011010)2 + (101010)2 (100000100)2
218+42=260
(10111)2 + (101)2 (11100)2
23+5=28
(72)8 + (12)8 (104)8
58+10=68
(35)8 + (27)8 (64)8
29+23=52
(F)16 + (A)16 (19)16
15+10=25
(2B)16 + (57)16 (82)16
43+87=130
(101,01)2 + (11,11)2 (1001)2
5,25+3,75=9
(16,24)8 + (53,45)8 (71,71)8
14,3125+43,578125=57,890625
(12,A)16 + (C,1)16 (1E,B)2
18,625+12,0625=30,6875
(26,5)8 + (E,8)16 (100101,001)2 (45,1)8 (25,2)16
22,625+14,5=37,125
14. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
15. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:
а) 10111012 и 11101112; |
д) 378 и 758; |
и) A16 и F16; |
б) 1011,1012 и 101,0112; |
е) 1658 и 378; |
к) 1916 и C16; |
в) 10112, 112 и 111,12; |
ж) 7,58 и 14,68; |
л) A,B16 и E,F16; |
г) 10112 , 11,12 и 1112; |
з) 68, 178 и 78; |
м) E16, 916 и F16. |
Вычтите:
а) 1112 из 101002; |
д) 158 из 208; |
и) 1А16 из 3116; |
б) 10,112 из 100,12; |
е) 478 из 1028; |
к) F9E16 из 2А3016; |
в) 111,12 из 100102; |
ж) 56,78 из 1018; |
л) D,116 из B,9216; |
г) 100012 из 1110,112; |
з) 16,548 из 30,018; |
м) ABC16 из 567816. |
16. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:
а) 1011012 и 1012; |
д) 378 и 48; |
б) 1111012 и 11,012; |
е) 168 и 78; |
в) 1011,112 и 101,12; |
ж) 7,58 и 1,68; |
г) 1012 и 1111,0012; |
з) 6,258 и 7,128. |
17. Разделите 100101102 на 10102 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
18. Разделите 100110101002 на 11002 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
19. Вычислите значения выражений:
а) 2568 + 10110,12 * (608 + 1210) - 1F16;
б) 1AD16 - 1001011002 : 10102 + 2178;
в) 101010 + (10616 - 110111012) _ 128;
г) 10112 * 11002 : 148 + (1000002 - 408).
20. Расположите следующие числа в порядке возрастания:
а) 748, 1100102, 7010, 3816;
б) 6E16, 1428, 11010012, 10010;
в) 7778, 1011111112, 2FF16, 50010;
г) 10010, 11000002, 6016, 1418.