Приклад виконання завдання дс1

Механічна система, яка складається з трьох абсолютно твердих тіл (рис Д.3), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в’язі ідеальними і нехтуючи їх масами визначити швидкість тіла А системи в залежності від шляху S.

Дано:

; ; ; ; ;

S=6м; k=0,2. Знайти V_A(S).

Розв’язання. За умовою задачі вихідна механічна система (рис. Д.3) складається з абсолютно твердих тіл і якщо силу тертя вважати заданою, а інші в’язі ідеальними, то маємо що , а , де - сума робіт зовнішніх сил, включаючи силу тертя. Крім того, в початковому положенні система нерухома і тому . Звідси випливає, що для даної системи теорема про зміну кінематичної енергії в інтегральній формі приймає вигляд:

. (а)

Рис. Д.3

Отже, надалі, згідно з формулою (а), треба визначити кінетичну енергію в кінцевому положенні системи і роботу зовнішніх сил при переході системи з початкового в кінцеве положення. Підставляючи одержані дані в (а) знайдемо . Але перед тим як це зробити треба всі змінні величини виразити через задану і шукану величини тобто через і S. Для цього проведемо відповідний попередній кінематичний розрахунок.

Перед усім виразимо швидкості усіх точок системи через швидкість тіла А, яке рухається поступально.

Лінійна швидкість точки L барабана В, що обертається навколо нерухомої осі, . Звідси кутова швидкість блока В: і . Але нитка КС не розтягується і тому .

Миттєвий центр швидкостей катка Д знаходиться в точці його дотику до площини. Тому .

Що стосується до переміщень, то відношення між ними завжди такі, які між швидкостями і тому у даному випадку після того як всі змінні величини виражені через і S визначимо ліву і праву частини рівняння (а).

Почнемо з визначення кінематичної енергії системи в кінцевому положенні, яка дорівнює сумі енергій всіх тіл, що складають дану систему:

. (б)

Знайдемо кінетичну енергію кожного з тіл окремо:

1). Тіло А робить поступальний рух і тому його кінетична енергія

.

2). Барабан В обертається навколо нерухомої осі і тому ,

де - момент інерції барабана відносно осі обертання . Отже, .

3). Кінетична енергія циліндра Д, що робить плоскопаралельний рух: де - момент інерції однорідного суцільного циліндра відносно його центральної осі .

Підставляючи задані маси тіл і визначені з кінематичного розрахунку значення швидкостей і в (б) одержимо значення кінетичної енергії системи через швидкість : , (в).

Тепер обчислимо праву частину формули (а). Прикладемо всі зовнішні сили до тіл системи (рис. Д.3) і знайдемо суму робіт цих сил на заданому переміщені S: .

До тіла А прикладені зовнішні сили ваги і тертя, тобто , де , До тіла Д прикладена зовнішня сила ваги : .

Інші сили, прикладені до системи, роботи не здійснюють і тому . Отже . Звідси, враховуючи, що , дістанемо

. (г)

Підставимо (в) і (г) до (а) і одержимо що 1,525m , звідки . Якщо S=6м маємо .

Відповідь: швидкість тіла А, в залежності від шляху S, виражається формулою (м/с). При S=6м , м/с.

Завдання ДС2. Знайти переміщення тіла Б даної механічної системи за допомогою теореми про рух центра мас.

Умови задачі наведено у завданні ДС.

Необхідно знати:

1 Поняття центра мас механічної системи.

2. Теорему про рух центра мас.

3. Закон збереження руху центра мас.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати зовнішні і внутрішні сили, що діють на механічну систему.

2. Визначати координати центра мас механічної системи.

3. Визначати переміщення (швидкість) точки у складному русі.