7Метод контурных токов (мкт)
Метод основан на ЗНК и позволяет
сократить число совместно решаемых
уравнений с
до
.
Последовательность расчета:
а) выбираем положительные направления токов в ветвях;
б) выбираем независимые
контуры и обозначаем их контурные токи;
количество независимых контуров равно
;
в) составляем систему алгебраических уравнений для контурных токов:
,
,
……………………………………………………...
.
Здесь
,
,
…,
– контурные токи первого, второго и
-го
контуров; сопротивления с двумя индексами
(
,
,
…,
)
– собственные сопротивления контуров,
равные арифметической сумме сопротивлений
всех ветвей, входящих в рассматриваемый
контур; сопротивления с двумя различными
индексами
(
,
,
,
и т.д.) – общее
сопротивление контуров
и
,
причем
;
- алгебраическая
сумма произведений тока
,
источника тока
-
й обобщенной ветви, смежной с контуром
,
на её сопротивление
;
при этом со знаком плюс (минус) берутся
те произведения, ток
которых совпадает (противоположен) с
направлением контурного тока
.
Правые части уравнений представляют
собой контурные ЭДС, равные алгебраической
сумме ЭДС, действующих в рассматриваемом
контуре, при этом с положительным
(отрицательным) знаком берутся те ЭДС,
положительные направления которых
совпадают (противоположны) с произвольно
выбранным направлением обхода данного
контура. В отличие от собственных
сопротивлений общее сопротивление
может быть как положительным, так и
отрицательным: если контурные токи,
проходящие через общее сопротивление,
совпадают по направлению, то данное
сопротивление больше нуля, в противном
случае - отрицательно.
г) после определения контурных токов находим действительные токи в ветвях схемы, при этом необходимо учитывать положительные направления контурных токов и выбранные в начале положительные направления токов в ветвях схемы.
Пример. Составить уравнения по МКТ для ЭЦ, показанной на рис.2.1 и определить токи в ветвях.
Выберем положительные направления токов в соответствии с рисунком.
Для каждого независимого контура составляем уравнения:
I |
|
II |
|
III |
|
Решив полученную систему уравнений относительно контурных токов, найдем токи в ветвях:
;
;
;
;
;
.
8Метод узловых потенциалов (муп)
Данный метод, так же как и
МКТ, является дальнейшим развитием
метода уравнений Кирхгофа и позволяет
сократить число совместно решаемых
уравнений до
.
Последовательность расчета:
а) выбираем положительные направления токов в ветвях;
б) выбираем опорный узел, потенциал которого считаем равным нулю;
в) для оставшихся узлов составляем уравнения:
,
,
……………………………………………………………………………
.
Здесь
– узловая проводимость, равная
арифметической сумме проводимостей
ветвей, присоединенных к узлу
;
всегда больше нуля;
-
общая проводимость узлов
и
,
равная арифметической сумме проводимостей
ветвей, соединяющих узлы
и
;
общие проводимости всегда меньше нуля;
- алгебраическая сумма произведений
ЭДС ветвей, присоединенных к узлу
,
на проводимости этих ветвей: при этом
со знаком плюс (минус) берутся те ЭДС,
которые направлены к узлу (от узла);
- алгебраическая сумма токов источников
тока ветвей, присоединенных к узлу
;
при этом со знаком плюс берутся токи,
направленные к узлу
.
г) по найденным потенциалам узлов определяем токи в ветвях,
Пример. Составить уравнение по МУП для ЭЦ, показанной на рис.2.1 и определить токи в ветвях.
Для начала рассчитаем проводимости элементов цепи:
,
,
,
,
,
.
Условно примем потенциал
узла
равным нулю
.
Запишем уравнения узловых потенциалов
для узлов
,
,
:
Узел 1: |
|
Узел 2: |
|
Узел 3: |
|
Таким
образом, можно найти
,
,
:
.
Определим токи в ветвях:
,
,
,
,
.
Отметим, что МУП как и МКТ имеет уравнения одного типа. МУП выгоднее использовать, если количество его уравнений меньше, чем уравнений МКТ.
Схемы, в которых должны быть учтены проводимости на землю, почти всегда более выгодно рассчитывать МУП. В частности, к таким относятся схемы с электронными лампами и многие электроизмерительные схемы.
Кроме того, у МУП имеются следующие преимущества перед МКТ:
а) независимые узловые пары отыскиваются значительно легче (непосредственно по схеме), чем независимые контуры;
б) имея систему узловых уравнений, сравнительно легче найти (построить) схему, удовлетворяющую этим уравнениям; по системе контурных уравнений это сделать труднее и даже не всегда возможно.
Эти преимущества делают МУП особенно ценным при синтезе схем и в частности, при моделировании электротехнических устройств. МУП также предложен Максвеллом.