Систему рівнянь у матричній формі (1.5) можна записати:

X = BY . (1.7)

Елементи матриці В позначатимемо через b_ij , тоді з матричного рівняння (11.10) для будь-якої і-ї галузі можна отримати співвідношення:

(1.8)

Із співвідношення (1.8) випливає, що валова продукція постає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, ваговими коефіцієнтами тут є b_іj, котрі показують, скільки всього необхідно виробити валової продукції і-ї галузі для випуску у сферу кінцевого використання одиниці продукції j-ї галузі. На відміну від коефіцієнтів прямих витрат a_ij , коефіцієнти b_іj називають коефіцієнтами повних матеріальних витрат, і вони включають у себе як прямі, так і опосередковані витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, використаних безпосередньо на виготовлення певних обсягів даного продукту, то опосередковані стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукції не прямо, а через інші (проміжні) засоби виробництва.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат b_ij показують, який обсяг продукції j-ї галузі необхідно виробити, щоб з урахуванням прямих і опосередкованих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат можна застосовувати, коли необхідно визначити, як вплинуть на валовий випуск певної галузі деякі зміни щодо обсягів випуску кінцевої продукції всіх галузей:

(1.9)

де DX_i та DY_j — зміни (прирости) обсягів валової й кінцевої продукції відповідно.

Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат

Здійснюючи аналіз моделі міжгалузевого балансу, потрібно розглянути основні властивості матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А. Ці коефіцієнти за визначенням є невід’ємними, отже, матриця А в цілому є невід’ємною: А ³ 0. Процес відтворення не можна було б здійснити, якщо б для власного відтворення в галузі витрачався більший обсяг продукту, ніж створювався. Звідси очевидно, що діагональні елементи матриці А менші ніж одиниця: a_ii <1, i = 1, ..., n.

Система рівнянь міжгалузевого балансу відображає реальні економічні процеси, в котрих сенс можуть мати лише невід’ємні значення валових випусків; таким чином, вектор валової продукції складається з невід’ємних компонентів вектора Х, який є невід’ємним вектором: X > 0. Постає питання, за яких умов економічна система здатна забезпечити невід’ємний кінцевий випуск у всіх галузях? Відповідь на це питання пов’язана з поняттям продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Означення. Називатимемо невід’ємну матрицю А продуктивною, якщо існує такий невід’ємний вектор Х, що

X > AX. (1.10)

Очевидно, що умова (1.10) означає існування невід’ємного вектора кінцевої продукції Y > 0 для моделі міжгалузевого балансу (1.3).

Щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, аби виконувалася одна з перелічених нижче умов:

1. матриця (Е – А ) має бути невід’ємно оберненою, тобто повинна існувати обернена матриця (Е – А) ^–1 ³ 0;

2. матричний ряд має збігатися, A^k ® 0, k ® ¥, а його сума дорівнює оберненій матриці (Е – А)^–1;

3. найбільший за модулем l розв’язок (власне значення) характеристичного рівняння має бути строго меншим від одиниці;

4. усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, що утворені елементами перших рядків і перших стовпчиків цієї матриці порядку від 1 до n, мають бути додатними.

Більш простою, але лише достатньою ознакою продуктивності матриці А є обмеження на величину її норми, тобто на величину найбільшої із суми елементів матриці А в кожному стовпчику. Якщо норма матриці А строго менша від одиниці, то ця матриця є продуктивною. Наголосимо, що дана умова є лише достатньою, і матриця А може виявитися продуктивною й у разі, якщо її норма буде більшою за одиницю.

Найбільший за модулем корінь характеристичного рівняння, наведеного в третій умові продуктивності матриці А (позначимо його через l^*), може слугувати за оцінку загального рівня коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, а отже, величина (1 – l^*) характеризує залишок після витрат, тобто продуктивність. Чим більшим є (1 – l^*), тим більшими є можливості досягнення інших цілей, окрім поточного виробничого процесу. Іншими словами, чим вищим є загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим більшим — максимальне за модулем власне значення (l^* ) і нижчим — рівень продуктивності, і навпаки, чим нижчий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим меншим є максимальне по модулю власне значення (l^* ) і вищою продуктивність.

Проаналізуємо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат, тобто матрицю В = (Е – А)^–1. Елемент цієї матриці b_ij показує, скільки всього необхідно виробити продукції і-ї галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Дамо інше означення коефіцієнта повних матеріальних витрат з огляду на те, що крім прямих витрат існують опосередковані витрати тієї чи іншої продукції для виробництва продукції даної галузі. Розгляньмо для прикладу формування витрат електроенергії на випуск стального прокату, обмежуючись технологічним ланцюжком «руда—чавун—сталь—прокат». Витрати електроенергії для отримання прокату зі сталі називатимемо прямими витратами, ті самі витрати для отримання сталі з чавуну — опосередненими витратами 1-го порядку, а витрати електроенергії для отримання чавуну з руди — опосередкованими витратами електроенергії на випуск сталевого прокату 2-го порядку тощо. Отже, можна дати таке означення:

Коефіцієнтом квазіповних матеріальних витрат c_ij називають суму прямих і опосередкованих витрат продукції і-ї галузі для виробництва одиниці продукції j-ї галузі через проміжні продукти на всіх попередніх стадіях виробництва. Якщо коефіцієнти опосередкованих матеріальних витрат k-го порядку позначати через , то має місце формула

(1.11)

a якщо ввести до розгляду матрицю коефіцієнтів квазіповних матеріальних витрат C = (c_ij) та матриці коефіцієнтів опосередкованих матеріальних витрат різних порядків , то поелементну формулу (11.14) можна подати в матричній формі:

(1.12)

З огляду на змістовну суть коефіцієнтів опосередкованих матеріальних витрат можна записати такі математичні співвідношення:

за використання котрих матрична формула (11.15) набирає вигляду

(1.13)

Якщо матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А є продуктивною, то з другої умови продуктивності існує матриця В = (Е – А)^–1, яка є сумою збіжного матричного ряду:

(1.14)

Порівнюючи вирази (11.16) та (11.17), дістанемо:

В = Е + С,

або в поелементному записі:

Це визначає економічний сенс, що пояснює відмінність між коефіцієнтами (елементами) матриць В та С: на відміну від коефіцієнтів матриці С, що враховують лише витрати на виробництво продукції, коефіцієнти матриці В включають у себе, окрім витрат, також одиницю кінцевої продукції, котра виходить за сферу виробництва.

Розглянемо приклад розрахунку основних показників МГБ за умовного поділу економіки на три галузі.

Приклад. Для тригалузевої економічної системи на плановий період задані матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат і вектор кінцевої продукції (дані умовні):

Необхідно обчислити планові обсяги валової продукції, матрицю повних матеріальних витрат, значення міжгалузевих потоків, умовно чисту продукцію галузей і подати результати у формі міжгалузевого балансу.

Розв’язання.

1. Для розрахунку валової продукції складемо систему рівнянь вигляду (2.1.50):

Перетворимо систему до вигляду:

Цю систему можна розв’язати методом послідовного виключення Гаусса. На першому кроці обчислень одне з рівнянь перетворюється таким чином, щоб коефіцієнт при Х₁ дорівнює рівним одиниці, а з решти рівнянь Х₁ виключається взагалі. Далі друге рівняння так, перетворюють щоб коефіцієнт при Х₂ дорівнював одиниці, з решти рівнянь Х₂ виключають. Продовжуючи описану процедуру, зрештою отримують систему, в якій останнє рівняння містить лише одну невідому величину, а кожне попереднє — на одну більше. Послідовно підставляючи вже обчислені значення невідомих у рівняння — від останнього до першого, обчислюють значення усіх невідомих величин.

В результаті такого послідовного виключення невідомих отримаємо еквівалентну систему:

З останнього рівняння знаходимо

.

Підставляючи це значення у друге рівняння, обчислимо

.

Нарешті, підставивши значення Х₁ та Х₂ у перше рівняння, отримаємо

.

2. Знайдемо матрицю повних матеріальних витрат згідно з формулою

B = (Е – А)^–1.

Отримаємо матрицю (Е – А):

.

Обчислимо визначник цієї матриці:

.

Будуємо матрицю , приєднану до . Елементами цієї матриці є алгебраїчні доповнення для елементів матриці, транспонованої до . Алгебраїчні доповнення обчислюють як добуток на мінор, який отримано після викреслення з матриці i-го рядка й j-го стовпчика:

.

За формулою

знаходимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат:

Знайдемо обсяги валової продукції трьох галузей, використовуючи формулу (2.1.51):

Як бачимо обсяги валової продукції, обчислені на основі співвідношень (2.1.50) та (2.1.51) повністю збігаються.

3. Для обчислення елементів першого квадранта міжгалузевого балансу — значення міжгалузевих потоків — скористаємося формулою (2.1.48):

,

тобто елементи першого стовпчика матриці А перемножимо на величину X₁ = 635,383, елементи другого стовпчика матриці А — на X₂ = 560,949; елементи третього стовпчика матриці А — на X₃ = 730,313.

Складові третього квадранта (умовно чиста продукція) знаходять з урахуванням формули (2.1.46) як різницю між обсягом валової продукції та сумою елементів відповідного стовпчика першого квадранта.

Четвертий квадрант у наведеному прикладі складається лише з одного показника й слугує, зокрема, для контролю правильності обчислень. Сума елементів другого квадранта повинна збігатися (у вартісному матеріальному балансі) із сумою елементів третього квадранта.

Результати обчислень подано у вигляді таблиці (табл. 2.2.2).

Таблиця 2.2.2