1.2. Операции над множествами.

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

1. Пересечение множеств.

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} и B={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 4.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АВ, где символ  - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 4 можно записать следующим образом:

Р=АВ= {x xA и xB}={x  xA  xB}. (1)

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

(2)

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак  (конъюнкция, или логическое “и”):

xAB  xA  xB (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

, (3)

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком  (дизъюнкция, логическое “или”):

хАВ  хА  хВ. (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 4-7 (пересечение заштриховано).

рис. 4. рис. 5 рис. 6 рис. 7

2. Объединение множеств.

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 5.

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А  В, где  - символ объединения множеств. Определение 5 можно записать с помощью характеристического свойства:

С= А  В={x xA или xB}. (4)

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

(5)

а также знаком дизъюнкции

х А  В  хА  хВ. (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

(6)

или

x AB  xA  xB. (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис.

8-11 (объединение заштриховано).

рис. 8 рис. 9 рис. 10 рис. 11

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

АА=А, А=А, АU=U. (7)

Замечание1.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А₁ А₂… А_n={x  x A_i, i= },

Где символ  (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A_i, которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Замечание 2.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

C= A₁A₂…A_n={x  xA₁ или xA₂ или …или xA_n}.

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки  и  и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

3. Разность множеств.

Определение 6.

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А В, где символ является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 6 следующим образом:

C=A B={x  xA и xB} (8)

или

(9)

а также xA B  xA  xB. (9а)

Пример 1.

Если E₁={2; 4; 6} и E₂={6; 8; 10}, то E₃=E₁ E₂={2; 4}, E₄=E₂ E₁={8;10}.

Пример 2.

Если M₁={x₁; x₂; x₃}, M₂={y₁; y₂}, то M₃=M₁ M₂={ x₁; x₂; x₃},

M₄=M₂ M₁={y₁; y₂}.

Пример 3.

Если K₁={1; 3; 5; 7; 9}, K₂={5; 7; 1}, то K₃=K₁ K₂={3; 9}, K₄=K₂ K₁=.

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 12- 15, где множество А  В заштриховано.

рис. 12 рис. 13 рис. 14 рис. 15

4. Дополнение к множеству.

Определение 7.

Пусть В  А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или А В.

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

Определение 8.

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

= {x  xA}. (10)

Графически дополнения (соответственно определениям 7 и 8) изображены на рис. 16 и 17 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

U

A

B

рис. 16 рис. 17

5. Симметрическая разность множеств.

Определение 9.

Симметрическая разность двух заданных множеств A и B — это такое множество  , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

(11)

Графически симметрическую разность можно представить в виде:

рис. 18

6. Прямое произведение множеств.

Определение 10.

Прямым произведением, или декартовымпроизведением   множеств   и   называется множество всех упорядоченных пар (a,b) таких, что aA и bB. При этом используют следующее обозначение:

  . (12)