1 Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если . Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предел , если он существует, или установить, что он не существует.

Теорема Лопиталя (Франсуа Лопиталь (1661-1704) – французский математик).

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть, кроме того, и в указанной окрестности точки . Тогда, существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

= .

Замечание 1. Если производные удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применять повторно. При этом получается = = .

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда

.

Примеры.

1) = = = = ;

2) = = = = = ;

3) = = = =1.

Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если . Для этой неопределенности справедливо утверждение аналогичное теореме Лопиталя, если заменить условие на условие,

то теорема остается справедливой.

Примеры. 1) = = = = 0.

2) = = = =

= .

Неопределенности вида и можно свести к неопределенностям .

Примеры.

1) = = = = .

2) = = = = .

3) = = = = =(из первого примера)= .

4)

Используем логарифмическое тождество и свойство логарифма , данное выражение можно представить в виде . А потом применить правило Лопиталя для вычисления предела показателя степени числа e.

= = = .

Следовательно,

= .

Лекция 6. Применение дифференциального исчисления.

Формулы Тейлора и Маклорена

Рассмотрим одну из главных формул математического анализа, имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.

Теорема Тейлора (Брук Тейлор (1685-1731) – английский математик).

Пусть функция f(x) имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка n + 1. Пусть х – любое значение аргумента из указанной окрестности, х  . Тогда между точками и х найдется точка  такая, что справедлива следующая формула:

.

Эта формула называется формулой Тейлора, а выражение , которое обозначается , называется остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно переписать в другом виде. Так как точка , то найдется такое число из интервала , что , и остаточный член примет вид

.

Часто формулу Тейлора записывают в ином виде. Положив , , . Тогда:

При из этой формулы получается формула Лагранжа

.

Если функция ограничена в окрестности точки , то остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем при :

,

Таким образом, . Эта формула называется остаточным членом в форме Пеано (Джузеппе Пеано (1858-1932) – итальянский математик).

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора при :

.

Остаточный член имеет вид:

в форме Лагранжа ;

в форме Пеано .

Формула Маклорена применяется для представления некоторых элементарных функций в виде многочлена. Приведем некоторые примеры.

1) Рассмотрим функцию . Так как

то по формуле Маклорена данная функция имеет вид

.

2) Рассмотрим функцию . Вычисляя производные и их значения при х = 0, получим

Или

Значит данная функция по формуле Маклорена имеет вид

.

3) Рассмотрим функцию . Вычисляя производные и их значения при х = 0, получим:

Данная функция по формуле Маклорена имеет вид

.

В этой формуле остаточный член записан в виде , а не в виде , так как следующий за последним член равен нулю (тоже самое относится и к предыдущей формуле).

4) Рассмотрим функцию , где - вещественное число. Так как

то по формуле Маклорена данная функция имеет вид

,

В частном случае, когда - натуральное число, , следовательно, , мы получаем известную из элементарной математики формулу бинома Ньютона

.

Эти примеры показывают, что функции можно представлять в виде многочленов. Над многочленами удобно выполнять арифметические действия, нетрудно вычислить значение многочлена в любой точке и т.д. Формулы Тейлора и Маклорена позволяют приближенно заменять многочленами и более сложные функции.

Формула Тейлора является эффективным средством для вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь дело при исследовании функций.

Пример 1. Найти .

Решение. По формуле , при имеем

= = .

Пример 2. Найти .

Решение. Используя формулы, заменяем три функции

= =

= = = = .

Оценка остаточного члена для произвольной функции.

Оценим для произвольной функции остаточный член в формуле Макларена, взятый в форме Лагранжа.

.

Остаточный член в форме Лагранжа .

Предположим, что рассматриваемая нами функция f(x) обладает следующим свойством: существует такое вещественное число М, что для всех номеров n и для всех значений аргумента х из рассматриваемой окрестности точки х = 0 справедливо неравенство .

Такую функцию будем называть функцией, совокупность всех производных которой ограничена в окрестности точки х = 0.

Их неравенства вытекает, что , и поэтому из формулы остаточного члена следует, что .

Итак, мы получаем следующую универсальную оценку остаточного члена для функции, совокупность всех произвольных которой ограничена числом М в окрестности точки х = 0:

.

Лекция 7-8. Возрастание и убывание функций.

Экстремумы функций.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Определение 1 Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при выполняется неравенство .

Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.

1. Если дифференцируемая функция на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительная), т.е. .

2. Если непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.

Определение 2 Функция называется неубывающей (невозрастающей) в некотором интервале, если для любых из этого интервала выполняется неравенство .

Определение 3 Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль, называются стационарными. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.

Пример 1. Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) и критические точки функции .

Решение. Данная функция определена при x > 0. Находим ее производную: . Из условия , найдем стационарные точки. . Эти точки разбивают область определения функции на интервалы . В первом из них , а во втором . Это означает, что в интервале (0; 0,5) данная функция убывает, а в интервале (0,5; +) – возрастает.

Определение 4 Точка х₁ называется точкой локального максимума функции , если для любых достаточно малых выполняется неравенство .

Определение 5 Точка х₂ называется точкой локального минимума функции , если для любых достаточно малых выполняется неравенство .

Определение 6 Точка максимума и минимума называется точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции ее экстремальными значениями.

Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума)

Если функция имеет в точке х = х₀ экстремум, то либо , либо не существует.

Э та теорема имеет следующий геометрический смысл. Если х₁, х₂ и х₃ – точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох. Эти точки и называются стационарными точками; мы будем называть их точками возможного экстремума.

Если точка х₀ – точка возможного экстремума, т.е. , то она может и не быть точкой локального максимума или минимума. Например, если при , но, тем не менее, в точке х = 0 нет локального экстремума. Установим достаточное условие существования локального экстремума.

Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума)

Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х = х₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х₀). Если при , а при производная , то при х = х₀ функция имеет максимум. Если же при , а при , то при х = х₀ данная функция имеет минимум.

Схема исследования функции на экстремум с помощью первой производной может быть записана в виде таблицы.

Числовые промежутки	(-∞; x0)	x0	(x0; +∞)
Знаки производной:	+	0	-
Поведение функции:

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. . Из условия , находим критические точки х₁ = -1 и х₂ = 0 (точка разрыва).

Числовые промежутки	(-∞; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; +∞)
Знаки производной:	+	0	-	0	+
Поведение функции:		-		-

Значит точка х = -1 является точкой локального максимума, а точка х = 0 – точка локального минимума.

Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума функции)

Пусть функция дважды дифференцируема и . Тогда в точке х = х₀ функция имеет локальный максимум, если , и локальный минимум, если .

В случае, когда , точка х = х₀ может и не быть экстремальной.

Пример 3. С помощью второй производной исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Вычисляем значения второй производной в этих точках: , т.е. х₁ = 0 – точка минимума; , т.е. х₂ = 2 – точка максимума;

.

На отрезке функция может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале , либо на концах отрезка .

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Обе эти точки принадлежат интервалу (-2;3). Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезках: у(-1) = 5, у(1) = 1, у(-2) = 1, у(3) = 21. Сравнивая полученные числа, получаем наименьшее значение в точках х₁ = 1 и х₂ = -2, а наибольшее значение – в точке х₃ = 3. Значит .

Определение 7 Кривая, заданная функцией , называется выпуклой в интервале (а;b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале, и вогнутой в интервале (a;b), если все ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.

Определение 8 Точка кривой , отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке М существует касательная.

Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции)

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна (положительна), т.е. , то кривая в этом интервале выпукла (вогнута).

В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается в нуль, или не существует.

Теорема 5 (достаточный признак точки перегиба)

Если в точке х = х₀ или не существует и при переходе через эту точку производная меняет знак, то точка с абсциссой х = х₀ кривой - точка перегиба.

Пример 5. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой (кривая Гаусса).

Решение. Находим первую и вторую производные:

.

следовательно .

Числовые промежутки	(-∞; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
Знаки производной:	+	0	+	0	-	0	-
Поведение функции:		-		-
Знаки второй производной:	+		-		-		+
Поведение функции:

х = -1, х = 1 точки перегиба.

Лекция 9. Общая схема исследования функций и построение их

графиков

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

1) указать область определения функции;

2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3) найти асимптоты графика функции;

4) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции ( );

5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

7) произвести необходимые дополнительные вычисления;

8) построить график функции.

Определение 1 Прямая L называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки М кривой до прямой L, при удалении точки М в бесконечность, стремится к нулю.

Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у кривых, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).

Если существуют числа х = х_i (i = 1,2,3,...,n), при которых

, т.е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые х = х_i называются вертикальными асимптотами кривой .

Если существуют пределы

,

то прямые - наклонные асимптоты кривой (при k = 0 –горизонтальные). При можем прийти к двум значениям для k. Если имеем одно значение для k, то при можем получить два значения для b.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение. , следовательно данная кривая имеет две вертикальные асимптоты х = 1. Ищем наклонные асимптоты:

, .

Таким образом, у данной кривой существует одна наклонная асимптота, уравнение которой .

Пример 2. Провести полное исследование функции и построить её график.

1. О.О.Ф. , т.е. х  1.

2. Пересечение с осью Ох: у = 0, следовательно решаем уравнение , оно не имеет действительных корней. Значит нет точек пересечения с осью Ох.

Пересечение с осью Оу: х = 0, следовательно, у = -1. Значит точка пересечения с осью Оу – (0;-1).

х = 1 является вертикальной асимптотой, т.к. это точка разрыва и при и при .

3. Найдем наклонные асимптоты: y = kx + b.

, .

Значит, график функции имеет наклонную асимптоту .

4. Проверим выполнение равенств .

, как видим ни одно из равенств не выполняется. Значит функция общего вида. Она так же не периодична.

5. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:

.

Из условия , находим две точки возможного экстремума: . В таблицу записываем критические точки: . Определяем знаки производной и поведение функции на каждом из полученных интервалов.

	(-∞; )		( ; 1)	1	(1; )		( ; +∞)
	+	0	-	0	-	0	+
		-		-		-

Из схемы видно, что является точкой максимума, а точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

.

6. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости графика данной функции, найдем ее вторую производную:

Так как вторая производная в ноль никогда не обращается, то точек перегиба нет. при и при .

	(-∞; )		( ; 1)	1	(1; )		( ; +∞)
	+	0	-	-	-	0	+
		-		-		-
	-	-	-	-	+	+	+

7. Используя полученные данные, строим эскиз графика.

Если необходимо, можно вычислить дополнительные точки для построения более точного эскиза графика функции.

Лекция 10. Практические задачи на экстремум. Дифференциал длины дуги и кривизна плоской линии.

1. Практические задачи на экстремум.

Задача 1. Каковы должны быть размеры (радиус основания R и высота H) открытого сверху цилиндрического бака максимальной вместимостью, если для его изготовления отпущено материала?

Решение. Вместимость бака , а на его изготовление пойдет материала площадью .

Отсюда определяем высоту бака .

Тогда вместимость бака .

Найдем то значение R, при котором вместимость V(R) будет максимальной. Имеем:

.

Так как , то при найденном значении R = 3 вместимость бака будет максимальной.

Высота бака находится из полученного выше соотношения:

.

Ответ: R = 3м, H = 3м.

Задача 2. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона  боковых сторон этой трапеции сечение канала будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Определим площадь сечения канала как функцию угла , считая, что боковые стороны и меньшее основание трапеции равны .

Тогда, как видно из рисунка

Исследуем S как функцию аргумента  на экстремум.

Имеем:

.

В критических точках

.

Так как , то . Поэтому, если , то или .

Докажем, что при функция S достигает наибольшего значения на отрезке . Действительно,

.

Поэтому при имеем локальный максимум , который на отрезке будет также наибольшим значением функции S, поскольку S(0) = 0, S(/2) = a² < S_max.

Задача 3. Известно, что прочность бруса с прямоугольным поперечным сечением пропорциональна его ширине и квадрату высоты . Найти размеры бруса наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна радиусом

Решение. Прочность бруса N, вычисляется по формуле , где - коэффициент пропорциональность, . Из рисунка видно, что , т.е.

. Тогда

.

Найдем экстремум функции

:

. Если , то

.

Тогда

Так как , то при найденных значениях и прочность бруса будет максимальной.