1.5.4 Виды сопротивлений в цепях переменного тока

Цепь переменного тока с активным сопротивлением

Сопротивления в цепях переменного тока бывают активными и реактивными. Активные сопротивления расходуют энергию, ре­активные сопротивления энергию не расходуют.

Активное сопротивление проводника переменному току больше сопротивления проводника постоянному току.

С увеличением частоты переменного тока, проходящего по про­воднику, активное сопротивление его увеличивается. Это объясня­ется влиянием так называемого поверхностного эффекта. Сущ­ность поверхностного эффекта состоит в неравномерности распре­деления плотности тока по толщине проводника, являющейся следствием индуктивности провода.

Реактивными сопротивлениями являются сопротивление ка­тушки индуктивности L и сопротивление конденсатора С, вклю­ченные в цепь переменного тока. Сопротивление катушки называ­ется индуктивным сопротивлением Х_L, сопротивление конденса­тора — емкостным Х_C.

На рис. 1.19 показана цепь переменного тока с активным сопро­тивлением, развернутая и векторная диаграммы тока и напряже­ния такой цепи. Рассматривая диаграммы, видим, что ток и на­пряжение совпадают по фазе, следовательно, они изменяются по одному и тому же закону, что можно записать следующим обра­зом:

Действующее значение тока в цепи с активным сопротивле­нием равно

где U — действующее значение напряжения на сопротивлении;

R — величина активного сопротивления.

Это выражение является выражением закона Ома для цепи с активным сопротивлением.

Мощность, расходуемая в цепи на активном сопротивлении, равна

где U и I — действующие значения напряжения и тока;

φ — угол сдвига фаз между током и напряжением.

Так как ток и напряжение совпадают по фазе, то угол сдвига φ=0, а cos φ = 1. Мощность же в цепи равна произведению дей­ствующих значений тока и напряжения:

Цепь переменного тока с катушкой индуктивности

Если катушку индуктивности, активное сопротивление которой равно нулю, подключить к источнику переменного тока (рис.1.20), то в катушке потечет синусоидально изменяющийся переменный ток. Изменения тока приведут к возникновению ЭДС самоиндук­ции. Величина ее

будет достигать максимальных значений в мо­менты времени, когда ток равен нулю (точки 0, 2, 4, рис. 1.20), так как в эти моменты скорость изменения тока имеет наибольшее значение, и будет достигать нулевых значений в моменты, соот­ветствующие амплитудным значениям тока (точки 1, 3, 5), так как в эти моменты скорость изменения тока равна нулю.

Согласно правилу Ленца, индуктированная в катушке ЭДС противодействует изменениям тока. Это значит, что при увеличе­нии тока в катушке ЭДС самоиндукции стремится создать ток, направленный навстречу вызывавшему ее току, а при уменьшении тока она, наоборот, стремится создать ток, совпадающий по на­правлению с ним. Поэтому в первую четверть периода (рис. 1.20) ЭДС самоиндукции имеет отрицательный знак, во вторую — по­ложительный.

Сравнивая моменты прохождения величин через максимальное значение, видим, что ЭДС самоиндукции отстает по фазе от тока на 90°.

Величина напряжения на катушке или напряжения источника тока равна

Произведение угловой частоты на индуктивность катушки ωL называется индуктивным сопротивлением и обозначается X_L­.

Энергия в катушке индуктивности не расходуется. В первую четверть периода она запасается в магнитном поле ее, а во вто­рую — отдается источнику тока. Произведение напряжения Ui. на величину тока в цепи l называется реактивной мощностью:

В рассмотренной цепи активная мощность равна нулю, так как энергия в ней не расходуется, сдвиг по фазе между током I и напряжением U равен 90° и cos(φ) равен нулю

Теперь рассмотрим цепь с реальной катушкой, которую мож­но представить как цепь с последовательно включенными индук­тивностью L и активным сопротивлением R (рис. 1.21).

Если в такой цепи протекает переменный синусоидальный ток, то напряжение на индуктивности, как было установлено выше, опережает ток на 90°, а напряжение на активном сопротивлении совпадает с ним по фазе (рис. 1.21).

Так как напряжения U_L, Ur по фазе не совпадают, то напря­жение, приложенное ко всей цепи, равно геометрической сумме их. Сложив векторы Ul и Un, находим величину вектора U, который сдвинут по фазе относительно вектора тока I на угол φ<90°, опережая его.

Таким образом, в цепи переменного тока с последовательно со­единенным активным сопротивлением и катушкой индуктивности ток отстает по фазе от напряжения.

Построив векторную диаграмму, рассмотрим треугольник со сторонами U_д, U_L и U. Этот треугольник называется треугольни­ком напряжений. Так как треугольник прямоугольный, то

Из треугольника напряжений можно получить подобный ему треугольник сопротивлений со сторонами R, Х_L и z. Из этого тре­угольника полное сопротивление цепи равно

Так как сдвиг по фазе между током и напряжением меньше 90°, то энергия в такой цепи расходуется лишь на активном сопро­тивлении R.

Величина активной мощности при этом равна

где I — величина тока в цепи;

U — напряжение источника тока;

cos φ — коэффициент мощности.

Величину cos φ можно определить из треугольника сопротивле­ний:

Умножив стороны треугольника напряжений U_R, U_L и U на величину тока в цепи l, получим треугольник мощностей со сто­ронами Р, Р_т и Pi, где Р — активная, Р_r — реактивная, P_i —полная мощности.

В рассматриваемой цепи мгновенная мощность изменяется по несинусоидальному закону (рис. 1.21). Одна часть энергии, поступающей от источника тока в цепь, расходуется на активном сопротивлении, а другая — сосредоточивается в катушке индук­тивности.

Цепь переменного тока с емкостью

Если к источнику переменного тока подключить конденсатор, то в цепи появится ток. При этом по проводам будет течь ток про­водимости, а в диэлектрике конденсатора — ток смещения.

Способность конденсатора пропускать переменный ток объяс­няется тем, что под действием переменного синусоидального на­пряжения конденсатор периодически заряжается и разряжается, вследствие чего происходит перемещение электрических зарядов в проводниках, соединяющих конденсатор с источником тока. Соотношение фаз тока и напряжения представлено на рис. 1.22. Из графика видно, что в цепи с емкостью ток опережает по фазе напряжение на 90°,

Действующее значение тока в цепи с емкостью равно

Переписав это выражение в виде

и обозначив

получим

Это есть выражение закона Ома для цепи переменного тока с емкостью.

Величина называется емкостным сопротивлением.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока в цепи и емкости конденсатора; Хс является величиной, которая характеризует проявление реакции конденсатора по отношению к источнику тока, измеряется в омах.

Мгновенная мощность в цепи с емкостью изменяется с двойной частотой по синусоидальному закону (рис: 1.22). Рассматривая график мгновенной мощности, видим, что энергия в цепи с емко­стью не расходуется, и средняя мощность равна нулю.

Произведение W — P_r — реактивная мощность в вольт-амперах.

Цепь с последовательно соединенными активным сопротивлением и емкостью

Если в такой цепи протекает переменный синусоидальный ток

то напряжение на активном сопротивлении совпадает с током по фазе:

а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на 90^о:

Действующие значения напряжения на активном сопротивле­нии и емкости будут соответственно равны:

Так как напряжения U_д и Uc по фазе не совпадают, то напря­жение, приложенное ко всей цепи, будет равно геометрической сумме этих напряжений. Чтобы найти геометрическую сумму, по­строим векторную диаграмму и сложим векторы Ur и Uc. Полу­ченный вектор напряжения

U отстает по фазе от тока на угол φ<90°, что записывается так:

Величину напряжения U можно найти, решая треугольник на­пряжений со сторонами U_R, Uc и U:

Деля напряжения U_R, U_c и U на величину тока в цепи l, по­лучим сопротивления R, Хс и z.

Теперь из треугольника сопротивлений со сторонами R, Хс и z находим

Величина тока в цепи с активным и емкостным сопротивле­ниями прямо пропорциональна напряжению, приложенному ко всей цепи, и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи:

Это есть закон Ома для цепи с активным сопротивлением и ёмкостью.

В рассматриваемой цепи мгновенная мощность изменяется по несинусоидальному закону (рис. 1.23). Как и в цели с активным и индуктивным сопротивлениями, одна часть энергии, поступа­ющей от источника тока, расходуется на активном сопротивлении, а другая сосредоточивается в емкости.

Умножив напряжения Ur, Uc и U на величину тока в цепи l получим соответственно активную Р, реактивную Р_г и полную P­i мощность:

Теперь можно построить так же, как и для цепи с R и L тре­угольник мощностей, решая который находим

Если известны I, U и cos φ, то активную мощность находят по известной уже формуле

Цепь переменного тока с последовательно включенными активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями

В рассматриваемой цепи (рис. 1.24) величина тока в любой ее точке одинакова. Напряжения на активном, индуктивном и емко­стном сопротивлениях равны

Допустим, ток в цепи изменяется по закону .

Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток на 90°, а на­пряжение на емкости отстает от тока на 90°.

Сложив векторы Ur, U_l и Uc, найдем общее напряжение, ве­личина которого равна

Теперь можно записать выражение закона Ома для всей цепи.

Полное сопротивление цепи определяется из треугольника со­противлений со сторонами R, X_L-X­_C и z:

Напряжение, приложенное ко всей цепи, может или опережать, или отставать, или совпадать с током по фазе. Это зависит от со­отношения между сопротивлениями R, X_L и Хс.

Если X_L>Xc, то напряжение опережает ток на угол φ<90° и характер сопротивления цепи активно-индуктивный.

Если Xl<Xc, то напряжение отстает от тока на угол φ<90° и характер сопротивления цепи активно-емкостный.

Если X_L = Xc, то напряжение и ток совпадают по фазе и цепь будет иметь чисто активный характер сопротивления. Этот случай называется резонансом напряжений.

Таким образом, чтобы получить в цепи резонанс напряжений, необходимо добиться равенства реактивных сопротивлений X_L и X_C.

Получить равенство X­_L,=Xс можно путем изменения индуктив­ности катушки, емкости конденсатора или частоты питающего тока.

При резонансе напряжений полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению и имеет минимальную величину. По­этому ток в цепи будет максимальный:

так как X_L=X_C,

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе будут равны U_L=U_C, так как X_L=X_C, U_L=Ix_L, U_c=Ix_c.

Эти напряжения во много раз могут быть больше напряжения источника тока благодаря тому, что ток в цепи имеет максималь­ную величину. Напряжение же на активном сопротивлении равно напряжению источника тока U_R=U.

Во всех случаях cos φ определяется величиной отношения R/z. При резонансе cos(φ)=l, поэтому вся энергия расходуется в цепи.

Цепь переменного тока с параллельно включенными активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями

Если цепь состоит из двух параллельных ветвей, одна из кото­рых имеет последовательно включенные индуктивность L и актив­ное сопротивление R₁, а вторая — емкость С и активное сопротив­ление R₂ (рис. 1.25), и к ним приложено переменное напряжение u=U_msin(ωt),

действующее значение которого U, то будут про­текать токи:

в ветви с индуктивностью

а в ветви с емкостью

Эти токи по фазе не совпадают. Ток I₁ отстает от напряжения на угол φ_1,­ ток I₁ опережает напряжение на угол φ₂.

Чтобы найти вектор тока I в неразветвленной части цепи, не­обходимо построить векторную диаграмму и сложить векторы I₁ и I ₂ (рис. 1.25). Величину тока I можно найти, решая треугольник со сторонами I₁, I ₂ и I .

Если же имеется несколько параллельных ветвей, то нахожде­ние величины тока I значительно усложняется. Поэтому токи па­раллельных ветвей раскладывают на активные и реактивные со­ставляющие. Активные составляющие должны совпадать по фазе с напряжением, приложенным к цепи, а реактивные составляю­щие должны быть сдвинуты относительно активных составляю­щих на угол ±90°.

Активная составляющая I _а1 тока I ₁ равна

реактивная составляющая 1_L тока I ₁ равна

Активная составляющая тока I ₂ равна

реактивная составляющая тока I ₂ равна

Сложив раздельно активные и реактивные составляющие, получим активную составляющую тока I , равную I_а1 + I_а2 , и реактивную составляющую тока I , равную I_C – I_L.

Величина тока в общей цепи (из треугольника токов)

Полное сопротивление цепи

Сдвиг по фазе между током и напряжением находим из соот­ношения

Это дает возможность определить мощность, расходуемую в цепи:

Характер сопротивления такой цепи определяется большей реактивной составляющей тока.

При I_L> I_C характер сопротивления цепи активно-индуктивный.

При I_L<Ic характер сопротивления цепи активно-емкостный.

При Il=Ic характер сопротивления цепи активный.

Случай, когда Il — Ic, называется резонансом токов.

Если активное сопротивление индуктивной ветви очень мало по сравнению с индуктивным сопротивлением, а активное сопро­тивление емкостной ветви равно нулю, то при резонансе токов со­противление параллельной цепи может быть очень большим. Это сопротивление называется резонансным сопротивлением, и оно определяется из формулы

Так как при резонансе сопротивление контура имеет чисто ак­тивный характер, то вся энергия расходуется на активном сопро­тивлении.

Явления резонанса напряжения и резонанса токов широко ис­пользуются в различных радиотехнических устройствах.