Решение

1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DЕ (рисунок 10б). Изобразим действующие на стержень силы: силу F, реакцию N, направленную перпендикулярно стержню, и составляющие Х_D и Y_D реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

FK x=0, XD +F – N · sin(60°)=0;	(10)
FK y=0, YD +N · cos(60°)=0;	(11)
MD (FK )=0, N · 2a – F · sin(60°)·5a=0.	(12)

Решим систему уравнений в MathCAD (рисунок 11).

Рисунок 11 – Решение системы уравнений с неизвестными Х_D, Y_D, N в MathCAD

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рисунок 10в). На него действуют: сила давления стержня N, направленная противоположно реакции N; равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой Q, приложенной в середине участка КВ (численно Q = q · 4а = 16 кН); пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими Х_А, Y_A , и пары с моментом М_A. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

FKx=0, ХА+Q·cos(60°)+N' ·sin(60°)=0;	(13)
FKy=0, YA – Q·sin(60°) – N' ·cos(60°)=0;	(14)
МА=0, MA +M + Q·2·a + N' ·cos(60°)·4·a + N' ·cos(30°)·6·a =0.	(15)

При вычислении момента силы N' разлагаем ее на составляющие N'₁ и N'₂ и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (13) – (15), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N' = N в силу равенства действия и противодействия.

Решим систему уравнений в MathCAD (рисунок 12).

Рисунок 12 – Решение системы уравнений

с неизвестными Х_A, Y_A, M_A в MathCAD

Ответ: N = 21,7 кН, Y_D = –10,8 кН, X_D = 8,8 кН, X_A = –26,8 кН,

Y_A = 24,7 кН, M_A = –42,6 кНм. Знаки указывают, что силы Y_D, X_А и момент М_A имеют направления, противоположные показанным на рисунке.

ЗАДАЧА 4. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ =3ℓ, ВС = 2ℓ закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В - цилиндри-ческим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС ' (рисунок 13).

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	 Вар Вариант 4

Рисунок 13 – Варианты эскизов

Продолжение рисунка 13

Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

На плиту действуют пара сил с моментом М = 6 кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в таблице 4; при этом силы F₁ и F₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила F₂ – в плоскости, параллельной xz, сила F₃ – в плоскости, параллельной yz. Точки D, E, H находятся в серединах сторон плиты. Определить реакции связей в точках А, В и С. При окончательных подсчётах принять ℓ= 0,8 м.

Таблица 4 – Варианты расположения сил и точек их приложения

Сила
	F1 = 4 H		F2 = 6 H		F3 = 8 H		F4 = 10 H
№ условия	точка приложения	1,	точка приложения	2,	точка приложения	3,	точка приложения	4, 
1	D	60	–	–	E	90	–	–
2	H	0	D	30	–	–	–	–
3	–	–	E	60	–	–	D	90
4	–	–	–	–	E	30	H	0
5	E	90	–	–	H	60	–	–
6	–	–	D	60	H	0	–	–
7	–	–	H	30	–	–	D	90
8	E	30	H	0	–	–	–	–
9	–	–	–	–	D	90	E	60
10	–	–	E	90	D	30	–	–

Указания. При решении задачи учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы F удобно разложить ее на составляющие F  и F , параллельные координатным осям, тогда по теореме Вариньона, для оси х, например, M_x (F) = M_x (F ′) + M_x (F ′′).

Пример

Условие задачи. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рисунок 14) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и невесомым стержнем DD , лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила F₁ (в плоскости xz), сила F₂ (параллельная оси y) и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

Рисунок 14 – Расчетная схема

Дано: P = 5 кН, M = 3 кН·м, F₁ = 6 кН, F₂ = 7,5 кН, ₁ = 30, АВ = 1 м,

ВС = 2 м, СЕ = 0,5·ВС, ВК = 0,5·ВС, q = 20 кН/м, a = 0,2 м.

Определить реакции в точках А, В и стержня DD '.