Геометричний зміст границі послідовності

Якщо  – границя послідовності , то який би окіл точки  ми не вибрали, члени послідовності, починаючи з деякого номера , будуть зображуватись точками, які лежать в цьому околі:

Основні властивості границь послідовності :

Якщо послідовності  і  мають границі, то:

2. Поняття функції. Поняття границі функції

Така залежність між змінними x та y, в якій кожному значенню змінної x із деякої множини D відповідає єдине значення змінної y, називається функціональною залежністю, або функцією.

Наприклад:

1. Залежність між натуральними числами та їх квадратами називається функціональною залежністю.

2. Якщо кожному натуральному числу поставити у відповідність число, йому протилежне, то одержимо функціональну відповідність.

3. y = 2x - 3, де x — аргумент, незалежна змінна; y – функція, залежна змінна (бо кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної y).

Змінну x називають аргументом даної функції, чи незалежною змінною. Змінну y називають функцією від x, чи залежною змінною.

Способи задання функції:

1. Описанням, наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його квадрат.

2. Формулою, наприклад, s = v · t, y = 2x - 3.

3. Таблицею, наприклад,

   x	1	2	3	4	5
   y	-1	1	6	5	7

4. Графіком.

Область визначення функції - це множина всіх значень змінної x, при яких функція має зміст.

З'ясуємо, як знайти область визначення деяких функцій, заданих формулою.

1. Якщо функція — многочлен, то вона існує при будь-яких значеннях аргумента, тобто її область визначення — всі дійсні числа.

2. Якщо функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу, то до області визначення функції входять всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.

3. Якщо функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь, то до області її визначення входять всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід'ємних значень.

Елементарні функції:

1. Пряма пропорційність

,

 - число. Графік - пряма, що проходить через початок координат під кутом до осі абсцис

2. Лінійна функція

,

,  - числа. Графік - пряма, що перетинає вісь абсцис у точці

ординат .

3. Обернена пропорційність

Графік гіпербола.

4. Квадратична функція

,

( ), , - числа.

Графік парабола.

5. Степенева функція

.

Якщо - натуральне і парне, то графік симетричний відносно осі OY; натуральне і непарне - відносно початку координат; від'ємне і непарне - гіпербола в 1 і 3-й координатних чвертях; від'ємне і парне - гіпербола в 1 і 4-й координатних чвертях.

Формули скороченого множення :

Тригонометричні функції:

1. Функція

Область визначення: вся числова пряма.

Множина значень: відрізок [-1;1].

Функція непарна.

Найменший додатній період: 2π.

2. Функція

Область визначення: вся числова пряма.

Множина значень: відрізок [-1;1].

Функція парна.

Найменший додатній період: 2π.

3. Функція

Область визначення: множина дійсних чисел, крім чисел виду π/2 + πn, n — ціле.

Множина значень: вся числова пряма.

Функція непарна.

Найменший додатній період: π.

4. Функція

Область визначення: множина дійсних чисел, крім чисел виду πn, n — ціле.

Множина значень: вся числова пряма.

Функція непарна.

Найменший додатній період: π.