5. Асимптоты графика функции

Определение 1. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Определение 2. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика f(x), если или (рис. 17), или .

Рис. 17

Для отыскания вертикальных асимптот следует найти те значения х, вблизи которых функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва 2-го рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту х = -1, так как (рис. 18).

Рис. 18

Теорема. Прямая у = kх + b является наклонной асимптотой графика f(x) тогда и только тогда, когда существуют пределы

Доказательство.

1) Дано: и . Доказать, что у = kх + b – асимптота графика f(x).

Используя связь между пределом функции и бесконечно малой величиной, запишем: f(x) – kx = b + β(x), где – б.м.ф.

Тогда f(x) – (kx + b) = β(x) → 0 при х → ∞. Левая часть последнего равенства является разностью ординат точки кривой M и точки прямой М₁ (рис. 19): |MМ₁|→0. Из прямоугольного треугольника MPМ₁ следует, что когда гипотенуза |MМ₁| → 0, то и катет |MP| = d → 0. Тогда, согласно определению асимптоты, прямая у = kх + b будет асимптотой графика f(x).

Рис. 19

2) Дано: у = kх + b – асимптота графика f(x). Доказать, что существуют пределы и .

Из определения асимптоты следует, что расстояние между точкой кривой М и точкой прямой P стремится к нулю, значит, является бесконечно малой величиной (|MP| = d = α(x) → 0 при х → ∞, где α(x) – б.м.ф.) (рис. 19).

Запишем разность ординат точки кривой M и точки прямой P, используя связь между пределом функции и бесконечно малой величиной (здесь kх + b является пределом функции f(x) при х → ∞): f(x) = kx + b + α(x). Тогда

; .

b = f(x) – kx – α(x) = . Теорема доказана.

Для горизонтальной асимптоты у = b выполняется k = 0 и b = .

Замечание 1. Если хотя бы один из пределов k (угловой коэффициент прямой) или b (сдвиг прямой по оси Оy) не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Замечание 2. Асимптоты графика функции f(x) при х → +∞ и х → -∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов k и b случаи, когда х → +∞ и когда х → -∞, следует рассматривать раздельно.

Пример. На графике (рис. 20) точки х₂, х₄ – точки экстремумов функции, точка х₁ – точка перегиба.

Рис. 20

Точка х₃ – точка разрыва функции 2-го рода; прямая х = х₃ является вертикальной асимптотой графика функции.

Прямая х = 0 – горизонтальная асимптота, а у = kх + b – наклонная асимптота графика.

6. Общее исследование функции

План общего исследования функции и построения графика:

1. Область определения функции.

2. Определение четности, нечетности, периодичности функции.

3. Точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Поведение функции на границах области определения. Точки разрыва функции и интервалы непрерывности.

5. Построение вертикальных и наклонных асимптот графика.

6. Экстремумы функции и интервалы монотонности.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

8. Определение некоторых значений функции для некоторых значений х.

9. Построение графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Функция определена на всей числовой оси, за исключением точки x = 1, где знаменатель дроби обращается в нуль. .

2. , т.е. функция общего вида.

3. Точки пересечения координатных осей: (0; 9), (3; 0).

4. Точка x = 1 является точкой разрыва функции (в ней функция не определена). Интервалы непрерывности: (-∞; 1) и (1; +∞).

Определим поведение функции на границах D(f).

Найдем пределы f(x) при (слева и справа):

, .

Точка x = 1 является точкой разрыва 2-го рода.

Определим поведение функции при x → ±∞:

.

5. Если функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 1, в которой функция имеет бесконечный разрыв, то прямая x = 1 является для графика функции вертикальной асимптотой.

Найдем наклонную асимптоту в виде у = kх + b.

.

Наклонная асимптота графика y = – x + 5.

6. Найдем первую производную

.

Найдем стационарные точки, т.е. приравняем у’=0. Получим

, x₁ = 3, x₂ = -1.

Точка x = 1 – критическая, так как в ней производная не существует.

Определим смену знака производной при переходе через эти точки.

Таким образом, х = -1 – точка min, у(-1) = 8 – минимум функции;

x = 3 – точка max, у(3) = 0 – максимум функции.

7. Вычислим вторую производную у″:

.

Вторая производная в нуль не обращается, а через точку х = 1 график не проходит, поэтому точек перегиба график не имеет.

На интервале (-∞,1) у″ > 0, и график выпуклый вниз, на интервале (1,+∞) у″ < 0, и график – выпуклый вверх.

График изображен на рис. 21.

Рис. 21

15