Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал ∆y ≈ dy.
Как следует из рис.7, погрешность от такой замены при ∆х→0 является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ∆х.
Подставляя в это соотношение формулу для dy и выражение для ∆у (∆у=f(х+∆х) – f(x)), получим
f(х+∆х) = f(x) + ∆у ≈ f(x) + f'(х)·∆х.
Эта формула называется формулой линеаризации и является основной в приближенных вычислениях.
Пример 1.
Вычислить приближенное значение корня
.
Решение. Рассмотрим
функцию
в окрестности точки x=1.
.
Принимая ∆х
= 0,07, получим из формулы линеаризации
Пример 2.
Найти приближенно
.
Решение. Используем формулу линеаризации
.
Пусть
,
тогда
.
При малых ∆х
справедлива формула
Для (х
+ Δх)
запишем
.
В радианной мере
радиан. Тогда
.
Используя формулу , имеем:
.
Пример 3.
Вывести приближенную формулу линеаризации
(для |∆х|,
малых по сравнению с x):
,
и с её помощью найти приближенные
значения для
.
Решение. Пусть
,
тогда
,
приращение
.
Следовательно,
.
Отсюда,
Полагая
;
,
и применяя формулу линеаризации, имеем:
.
.
Пример 4.
Вычислить приближенное значение
.
Решение. Рассмотрим
функцию
,
полагая
,
.
Применяя формулу
,
получаем
Пример 5.
Найти
приращение
и дифференциал
функции
при
и
.
Решение. Запишем
приращение функции
:
Главная часть
приращения, линейная относительно
,
является дифференциалом
или
.
Пример 6.
Вычислить приближенное значение площади
круга, радиус которого равен
м.
Решение. Воспользуемся
формулой
,
полагая
,
.
Имеем
Приближенное значение площади круга составляет
.
Основные свойства дифференциала
Непосредственно
из определения дифференциала и правил
нахождения производных имеем
:
1.
.
2.
,
если x
– независимая переменная.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Найти дифференциалы функций:
Пример 1.
.
Находим производную
данной функции:
,
тогда
,
следовательно,
.
Пример 2.
.
Находим производную
данной функции:
,
тогда
Пример 3.
.
Дифференциал функции
,
тогда
Пример 4.
.
Дифференциал функции
.
Дифференциал п-го порядка
Дифференциал
2-го порядка от
функции
(его обозначают символом
)
– это дифференциал от её дифференциала,
рассматриваемого как функция только
основного аргумента
(т.е. при постоянном
):
Найдем выражение
.
Таким образом, дифференциал функции 2-го порядка равен произведению её второй производной на квадрат дифференциала независимого переменного.
Аналогично
определяется дифференциал 3-го порядка:
.
Если
и
независимая переменная, то
.
Определение. Дифференциалом п-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала (п-1) порядка этой функции, т.е.
,
Если
и
независимая переменная, то
Пример.
Найти
дифференциал 2-го порядка функции
.
Решение. Имеем
;
.
Тогда
.