2.4. Оценка эффективности замкнутой многоканальной системы массового обслуживания

Рассмотрим случай, когда узел обслуживания предназначен для обслуживания конечного и притом постоянного числа требований. Как только требования обслужены, они возвращаются в источник. Более того, предположим, что источник имеет интенсивность, пропорциональную числу содержащихся в нем требований.

Пусть на машиностроительном предприятии имеется A_сп=m единиц металлорежущего оборудования. Интенсивность потока требований на текущий ремонт одного станка λ′. Если в некоторый момент времени число станков, ожидающих ремонта и ремонтируемых, n (система находится в E_n состоянии), то число исправно работающих станков равно (m–n) и интенсивность входящего потока определится как (m- n)·λ′, которая будет изменяться дискретным образом (скачкообразно) всякий раз, когда будет иметь место выход станка из строя или его восстановление.

В результате решения дифференциальных уравнений состояний замкнутой многоканальной СМО получены соотношения, в которых

где λ′ – удельная интенсивность потока требований, приходящаяся на одно требование, потенциально имеющееся в источнике; μ – общая интенсивность обслуживания; – число сочетаний из m по n.

Принимая во внимание, что и заменив μ через sμ′, где μ′ – интенсивность обслуживания одним каналом, полученные соотношения можно записать:

(6)

(7)

где ψ=λ′/μ′. (8)

Рассмотрим решение практической задачи с использованием представленных формул [2…5], но начнем сначала с замкнутой одноканальной СМО.

Пример 2. Пусть один слесарь-ремонтник (S=1) обслуживает на участке механосборочного цеха m=6 станков. В среднем каждый станок требует текущего ремонта или наладки один раз за месяц (λ′=1) . Слесарь может обслужить за месяц 10 станков (μ′=10) . Необходимо определить среднее число станков, ожидающих обслуживания ( ) , коэффициент простоя станков и коэффициент простоя слесаря.

Рассматриваемая система может находиться в семи различных состояниях (число станков в ремонте от 0 до 6). В соответствии с полученными формулами (6) и (7), и, положив S=1, будем иметь по зависимости (.6)

и по зависимости (7)

где P₁ – вероятность того, что слесарь ремонтирует один станок, а остальные работают; P_n – вероятность того, что слесарь ремонтирует один станок, а (n-1) ожидают ремонта.

Результаты подсчетов для всех семи состояний рассматриваемой СМО сведем в табл.2. В таблице первым вычисляется третий столбец, т. е. отношение при n₆ =0,1,…,6.

Таблица 2

Результаты расчета параметров состояний замкнутой одноканальной системы

массового обслуживания

Номер состояния СМО	Число станков, ожидающих ремонта (n-1)	Pn/P0	Pn	(n-1)Pn
0	0	1,00000	0,4845	0,0000
1	0	0,60000	0,2907	0,0000
2	1	0,30000	0,1454	0,1454
3	2	0,12000	0,0582	0,1164
4	3	0,03600	0,0175	0,0525
5	4	0,00720	0,0035	0,0140
6	5	0,00072	0,0003	0,0015
ИТОГО		2,06392	-	0,3298

Затем, суммируя третий столбец и учитывая, что получим

откуда P₀=l/2,06392=0,4845.

Умножая величины третьего столбца на P₀ = 0,4845, имеем четвертый столбец.

Среднее число станков, стоящих в очереди, равно

Суммируя пятый столбец, получим =0,3298.

Таким образом, слесарь свободен около половины рабочего дня (P₀ =0,4845) и примерно 0,33 ( =0,3298) станка из шести в среднем будет простаивать в очереди, а коэффициент простоя станков =0,33/6=0,055.

Перейдем теперь к замкнутой многоканальной системе.

Пример 3. Пусть бригада из трех человек обслуживает 20 станков (S=3, m=20). Все остальные условия предыдущего примера остаются прежними. В среднем теперь на одного рабочего приходится 6 целых и 2/3 станка и одновременно может обслуживаться 3 станка. Определим те же параметры, что и в предыдущей задаче. Результаты вычислений сведем в табл.3.

Таблица 3

Результаты расчета параметров состояний замкнутой многоканальной системы массового обслуживания

№ состояния СМО	Число ремонтируемых станков	Число станков в ожидании (n-3)	Число свободных рабочих	Pn/P0	Pn	(n-3)Pn
0	0	0	3	1	0,13625	-
1	1	0	2	2	0,27250	-
2	2	0	1	1,9	0,25888	-
3	3	0	0	1,14	0,15533	-
4	3	1	0	0,646	0,08802	0,08802
5	3	2	0	0,34453	0,04694	0,09388
6	3	3	0	0,17226	0,02347	0,07041
7	3	4	0	0,08039	0,01095	0,04380
8	3	5	0	0,03483	0,00475	0,02375
9	3	6	0	0,01393	0,00190	0,01140
10	3	7	0	0,00510	0,00070	0,00490
11	3	8	0	0,00170	0,00023	0,00184
12	3	9	0	0,00051	0,00007	0,00063
			Итого	7,33925		0,33863

При n>12 значениями P_n с точностью до пятого знака можно пренебречь. Для замкнутой многоканальной СМО среднее число станков, ожидающих обслуживания, равно

(9)

Коэффициент простоя станков, ожидающих обслуживания

(10)

Среднее число свободных рабочих

(11)

Отсюда коэффициент простоя одного рабочего будет равен

(12)

Сравним результаты, полученные в первом и во втором случае, которые представлены в табл.4. Во втором случае мы увеличили загрузку слесарей (6,67 станка против 6 станков на одного слесаря). Можно было бы ожидать, что очереди при этом возрастут, однако этого не произошло. Мы получили более чем втрое низкий коэффициент простоя станка. Это объясняется тем, что мы объединили три системы массового обслуживания (по 6–7 станков и по одному слесарю), заставив обслуживать бригаду из трех рабочих все 20 станков сразу. В одной изолированной системе рабочий бы простаивал, теперь же он может при возникновении потребности обслуживать станок, ранее за ним не закрепленный.

Таблица 4

Сравнительные результаты исследования систем массового обслуживания

Показатели СМО	Вид СМО
	одноканальная	многоканальная
Число станков на одного слесаря	6	6,67
Среднее число станков, ожидающих ремонта	0,33	0,34
Коэффициент простоя станка γ	0,33/6=0,055	0,34/20=0,017
Коэффициент простоя слесаря ρ	0,4845	0,4042

Надо сказать, что расчеты по определению оптимального числа каналов для источников на 300–400 требований громоздки и трудно поддаются ручному счету (определение величин m! и (m–n)! и др.).

Кроме того, система на 400 требований может находиться в 401 состоянии, и если сложно определить вероятность одного состояния, то эта трудность усугубляется необходимостью подсчетов вероятности 401 состояния. Из этого положения, как указывается в [2…5], может быть два выхода:

решать задачу по формулам разомкнутых СМО, заранее допуская погрешность;

расчет вести на ЭВМ, составив программу по полученным формулам для замкнутой СМО с несколькими обслуживающими устройствами.