Программа

1.Теория вероятностей

1. Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие, вероятность.

2. Статистическое, классическое и геометрическое определение вероятности.

3. Алгебра событий (сложение и умножение событий). Противоположные события.

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей и следствия из них.

5. Теорема о полной вероятности события. Формула Байеса.

6. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа.

7. Понятие случайной величины, их типы. Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины (табличный, графический).

8. Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Плотность вероятностей случайной величины, ее свойства.

9. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

10. Основные законы распределения случайных величин: нормальный, равномерный, показательный, биномиальный.

11. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

2. Математическая статистика

1. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма и полигон частот. Эмпирическая функция распределения.

2. Числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее, выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

3. Доверительная вероятность, доверительные интервалы для выборочного среднего и среднего квадратического отклонения.

4. Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о теоретическом законе распределения, о равенстве средних и дисперсий генеральных совокупностей.

5. Элементы теории линейной регрессии и корреляции.

6. Понятие о нелинейной и множественной регрессии. Корреляционное отношение, коэффициенты парной корреляции.

Методические указания к контрольной работе по теории вероятностей

При нахождении вероятностей сложных событий в задачах 16-30 следует пользоваться теоремами сложения, умножения и следствиями из них ([1] гл.2-4; [2] гл. 2).

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти вероятности попадания в мишень обоими стрелками; поражения мишени хотя бы одним стрелком.

Решение. Пусть событие A – попадание в мишень первым стрелком, B – вторым. Тогда событие C, заключающееся в одновременном поражении мишени обоими стрелками, является произведением событий А и В (С = А·В). Эти события происходят независимо друг от друга. Поэтому вероятность их произведения определяется по формуле

P(А·В) = Р(А)Р(В) и равна P(С) =Р(А·В) = 0,7·0,8 = 0,56.

Рассмотрим теперь событие D – поражение цели хотя бы одним стрелком. Оно заключается в поражении мишени либо первым стрелком, либо вторым, либо обоими вместе. Это событие является суммой исходных событий, т.е. D = А + В. События А и В являются совместными, т.к. могут происходить в одном и том же испытании. Поэтому следует воспользоваться формулой Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – –Р(А·В).

Получим Р(D) = Р(А+В) = 0,7 + 0,8 - 0,70,8 = 0,94.

Пример 2. Пластмассовые заготовки для деталей поступают с пресса №1, выпускающего 50% всей продукции, с пресса №2, выпускающего 30%, и с пресса №3, дающего 20%. При этом доля нестандартной продукции у первого пресса 0,10, у второго – 0,05, а у третьего – 0,02. Наудачу взятая заготовка оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она поступила с первого пресса.

Решение. Событие А – взятая заготовка стандартная. Она могла быть изготовлена прессом №1 (гипотеза Н₁), прессом №2 (гипотеза Н₂) или прессом №3 – Н₃. Вероятности этих гипотез соответственно равны Р(Н₁)=0,5; Р(Н₂)=0,3; Р(Н₃)=0,2. Событие А может произойти с событием Н₁ с условной вероятностью . Аналогично имеем условные вероятности:

Тогда полная вероятность события А, определяемая по формуле

р авна .

Для нахождения вероятности Р_А(Н₂) – того, что заготовка изготовлена первым прессом, при условии, что она стандартная, применим формулу Байеса:

,

получаем

Аналогично можно найти условные вероятности гипотез Н₁ и Н₃. При этом должно выполняться условие

Для решения задач №30-45 следует знать условия, к которым применимы формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа ([1], гл. 5, 6 §5; [2], гл. 3, 4 §1).

Пример 3. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза.

Решение. Число повторных независимых испытаний – подбрасываний монеты n = 5 – мало. Вероятность выпадения герба в одном испытании , вероятность противоположного события – выпадения цифры: . Тогда вероятность выпадения двух гербов (к = 2) следует определять по формуле Бернулли :

.

Пример 4. В городе каждая десятая машина – иномарка. За час по центральной улице проезжает 900 машин. Какова вероятность того, что иномарки составляют среди них не более 90 машин.

Решение. Число независимых испытаний n = 900 – велико, а вероятность появления иномарки не близка к нулю. В этих условиях используют приближенные формулы Муавра – Лапласа. Так как нас интересует вероятность появления события не более 90 раз, то применим интегральную формулу , получим

где

По прил. 1 определим значения функции Лапласа Ф(0) = 0, Ф(–30) = –Ф(30) = – 0,5 (функция Лапласа нечетная Ф(–х) = – Ф(х) и при x > 5 Ф(х) = 0,5).

Итак, Р₉₀₀(не более 90) = 0 + 0,5 = 0,5.

Пример 5. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность его неправильной брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит две бракованные книги.

Решение. Так как число испытаний n = 10000 – велико, а вероятность p = 0,0001 близка к нулю, то используем формулу Пуассона. Для этого определим параметр  = np = 1 и вычислим

Закон распределения дискретных случайных величин, их числовые характеристики (задачи №46-60) рассмотрены в гл. 6-8 [1], гл.4 [2], гл.11 [3].

При составлении закона распределения случайной величины для нахождения вероятностей возможных значений можно использовать основные теоремы и формулы теории вероятностей.

Пример 6. Рабочий обслуживает два станка. В течение смены первый станок потребует внимания рабочего с вероятностью 0,2, второй – с вероятностью 0,3. Составить закон распределения числа станков, потребовавших внимания рабочего в течение смены. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Дискретная случайная величина Х – число станков, потребовавших внимания рабочего. Обозначим событие А_i – внимание потребовал i-й станок, тогда, – i-й станок не потребовал внимания рабочего. Итак, Р(А₁) = 0,2, = 1 – Р(А₁) = 0,8, Р(А₂) = 0,3, = =1 – Р(А₂) = 0,7.

Определим вероятность того, что случайная величина Х примет возможные значения 0, 1, 2:

Составим закон распределения:

Х	0	1	2
Р	0,56	0,38	0,06

Контроль:

Вычислим основные числовые характеристики:

математическое ожидание М(Х),

дисперсию D(Х) = М(Х²) - (М(Х))². Для этого составим закон распределения квадрата случайной величины Х:

Х2	0	1	4
Р	0,56	0,38	0,06

М(Х²) = 0·0,56 + 1·0,38 + 4·0,06 = 0,62,

D(Х) = 0,62-(0,5)² = 0,37.

Среднее квадратическое отклонение:

В ряде задач на повторные независимые испытания вычисление вероятностей возможных значений случайной величины и ее числовых характеристик упрощается.

Пример 7. Каждый из трех независимо работающих приборов регистрирует уровень шума, превышающий установленную норму с вероятностью 0,9. Составить закон распределения числа приборов, зарегистрировавших шум, превышающий норму. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Случайная величина Х – число приборов, зарегистрировавших превышение уровня шума, может принимать четыре значения (к = 0, 1, 2, 3); соответствующие вероятности найдем по формуле Бернулли при n = 3; p = 0,9; q = 1– p = 0,1; к = 0, 1, 2, 3.

P(X = 0) = P₃(0) = C₃⁰p⁰q³ = 0,001,

P(X = 1) = P₃(1) = C₃¹p¹q² = 0,027,

P(X = 2) = P₃(2) = C₃²p²q¹ = 0,243,

P(X = 3) = P₃(3) = C₃³p³q⁰ = 0,729.

Запишем закон распределения случайной величины:

0	1	2	3
0,001	0,027	0,243	0,729

Контроль:

Закон распределения составлен правильно.

Так как случайная величина имеет биномиальный закон распределения, то математическое ожидание М(Х) = n·p = 3·0,9 = 2,7.

Дисперсия D(Х) = npq = 4·0,9·0,1 = 0,36 и среднее квадратическое отклонение

Особую трудность у студентов вызывает составление закона распределения. Поясним этот процесс еще на одном примере.

Пример 8. На пути движения автомобиля 3 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,6 разрешает автомобилю дальнейшее движение. Найти закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

Решение. Здесь случайной величиной Х является число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

Пусть событие А – светофор пройден без остановки, – противоположное событие (остановка).

Вычислим вероятность значений случайной величины:

Контроль: