Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Криворожский национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методича 1. механика.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

§ 8. Елементи спеціальної теорії відносності

Перетворення Лоренца:

(1.106)

(1.107)

, (1.108)

де — швидкість відносного руху інерціальних систем відліку; с — швидкість світла у вакуумі;

. (1.109)

Тривалість події в рухомій системі відліку

, (1.110)

де — тривалість події в нерухомій системі відліку.

Скорочення довжини рухомого тіла

, (1.111)

де — довжина рухомого тіла; — власна довжина тіла.

Релятивістський закон додавання швидкостей

, (1.112)

де — швидкість тіла в нерухомій системі (абсолютна швидкість); — швидкість тіла в рухомій системі (відносна швидкість).

Релятивістська маса і імпульс такі:

, (1.113)

де — швидкість тіла у вибраній системі відліку; — маса тіла в нерухомому стані у вибраній системі відліку (маса спокою).

Другий закон Ньютона в релятивістській формі:

. (1.114)

Кінетична енергія тіла

, (1.115)

або якщо ввести релятивістську масу

(1.116)

Повна релятивістська енергія

(1.117)

§ 9-11. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ

Рівняння вільних незатухаючих коливань і його розв'язок

, (1.118)

де — зміщення; — амплітуда; — власна частота коливань; — початкова фаза.

Швидкість і прискорення матеріальної точки, яка виконує гармонічне коливання,

(1.119)

. (1.120)

Рівняння затухаючих коливань і його розв'язок

(1.121)

(1.122)

де — коефіцієнт затухання; - коефіцієнт опору середовища; - маса тіла; — циклічна частота коливань; - частота незатухаючих коливань; — амплітуда затухаючих коливань.

Логарифмічний декремент затухання

. (1.123)

Добротність

. (1.124)

Рівняння вимушених коливань і його частинний розв'язок

; (1.125)

де - — амплітуда коливань; - початкова фаза; — зовнішня сила.

Резонансні значення циклічної частоти і амплітуди

. (1.126)

Додавання гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти. Амплітуда результуючого коливання

. (1.127)

Початкова фаза результуючого коливання

. (1.128)

Траєкторія точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях,

(1.129)

а) , якщо різниця фаз ;

б) , якщо ;

в) , якщо .

Період малих коливань математичного маятника

, (1.130)

де - довжина маятника; - прискорення вільного падіння.

Період коливань тіла, підвішеного на пружині,

, (1.131)

де — маса тіла; — жорсткість пружини.

Період малих коливань фізичного маятника

, (1.132)

де = зведена довжина фізичного маятника; —момент інерції маятника відносно осі коливання; — маса маятника; — відстань від центра мас до осі коливання.

Повна енергія матеріальної точки масою , яка здійснює гармонічні коливання

. (1.133)

Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі

, (1.134)

де —зміщення довільної точки середовища на відстані в момент часу ; — довжина хвилі — швидкість поширення коливань у середовищі; — період; — хвильове число.

Швидкість поширення поздовжніх хвиль у пружному середовищі

, (1.135)

де — модуль Юнга; — густина середовища.

Швидкість поширення поперечних хвиль

, (1.136)

де — модуль зсуву.

Кінетична енергія хвильового руху в об'ємі

. (1.137)

Потенціальна енергія хвильового руху

. (1.138)

Повна енергія хвильового руху

. (1.139)

Середнє значення об'ємної густини енергії за часом

. (1.140)

Потік енергії хвилі

, (1.141)

де — поверхня, через яку переноситься енергія хвилі; — швидкість хвилі.

Середнє значення густини потоку енергії хвилі (1.вектор Умова)

. (1.142)

Рівень гучності звуку, дБ,

, (1.143)

де — інтенсивність звуку певної частоти; — інтенсивність на порозі чутності.

Ефект Доплера

, (1.144)

де — швидкість поширення звуку; — швидкість руху приймача; — швидкість руху джерела звуку; — частота від джерела. Верхні знаки беруться при зближенні джерела і приймача, нижні — при їх віддаленні.

КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Загальні вказівки до виконання контрольних робіт.

1. За час вивчення курсу фізики студент повинен виконати та здати на кафедру фізики декілька контрольних робіт (визначається методичною радою КТУ). Варіант роботи (№) визначається за особистим номером студента в журналі групи. Це ж число ставиться замість № в умовах задач, які пропонуються для рішення.

2. Контрольні роботи треба виконувати в шкільному зошиті, на обкладинці якого привести відомості за наступним зразком:

Контрольна робота № __ з загальної фізики

Студента групи ПЦБ - 00 - 1 Кисельова А.В.

3. Умови задач у контрольній роботі треба переписувати повністю. Рішення задач потрібно супроводити короткими, але вичерпними поясненнями. У тих випадках, коли це потрібно, обов'язково приводить креслення, що пояснюють розв'язування задачі.

4. Розв'язувати задачі треба в загальному вигляді, тобто виразити шукану величину в буквених позначеннях параметрів, що задані в умові задачі. Числові значення при підстановці їх в розрахункову формулу і отриману відповідь потрібно давати в одиницях системи СІ, за винятком випадків коли в умові задачі вказано інше. Обчислення треба проводити з дотриманням правил приблизних обчислень, до трьох значущих цифр. При запису відповіді, числові значення потрібно записувати як добуток десяткового дробу з однією значущою цифрою перед комою на відповідну міру десяти. Наприклад, замість 0,00129 треба записувати 1,29 10^-3.

5. Розв'язування деяких задач потребує використовування даних про фізичні константи та властивості об'єктів, які в цих задачах згадуються. Ці дані треба брати з відповідних таблиць, що наведені у кінці любого підручника (збірника задач з фізики).

6. Кожна контрольна робота повинна завершуватися таблицею відповідей за наступним зразком:

Відповідь на задачі

Варіант 17

Кінематика

Контрольна робота №1. Варіант А

Завдання для 1 по списку студента

Матеріальна точка рухається прямолінійно. Залежність пройденого шляху від часу описується рівнянням S = (8,5 + 5t + t³ ) м. Визначити середню швидкість точки за № секунд руху, та миттєву швидкість і прискорення в кінці № секунди. (Середня швидкість руху матеріальної точки визначається за формулою (1.5), миттєва швидкість і прискорення – за формулою (1.6) і (1.12))
Наскільки необхідно зменшити масу аеростату, що рівномірно опускається, щоб він почав рівномірно підніматися з тією же швидкістю? Маса аеростату з баластом (1200 +№) кг, а піднімальна сила 12000 Н. Силу опору повітря руху аеростата вважати однаковою при підйомі й при спуску. (Зробити два малюнки з нанесенням на них діючих на аеростат сил).
Під дією сталої сили тіло почало рухатись у горизонтальному напрямі і пройшло шлях 5 м, набувши швидкості № м/с. Маса тіла 2 кг. Коефіцієнт тертя 0,01. Визначити роботу сили. (Робота діючої сили йде на збільшення кінетичної енергії (1.41) та на роботу (1.35) проти сили тертя (1.65)).
К

Рис. 1
уля масою 10 кг і радіуса 0,5 м обертається навколо нерухомої осі, що проходить через її центр мас. Обертальний рух кулі описується рівнянням . При цьому А = 1 рад/с³, В = 4 рад/с², С = 5 рад. Знайти момент сили М, що діє на поверхню кулі і приводить її в рух в момент часу t = № с. (Див. формулу (1.68), (1.70) та (1.25)).
Для відкачування води із шахти глибиною 200 м встановлено насос з електричним двигуном, ККД якого 50 %. За № години роботи насоса з шахти відкачують 360 м³ води. Знайти потужність двигуна у кВт.(Корисною роботою вважати зміну потенціальної енергії (1.68), а затраченою – з формули (1.38)).
На рис. 1 зображено графік гармонічного коливання. Записати його рівняння і обчислити прискорення через час 0,2·№ с після початку коливання. (Рівняння гармонічного коливання (1.118), а - прискорення (1.120)).

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 2 по списку студента

Матеріальна частинка рухається з прискоренням . Визначити модуль швидкості частинки в момент часу t = 0,1 с, якщо в початковий момент часу t = 0 її швидкість дорівнювала .
Автомобіль масою 10³ кг зупиняється при гальмуванні за 5 с, пройшовши відстань в 10 м. Знайти силу гальмування.
Матеріальна точка масою 10 кг рухається рівномірно і прямолінійно з швидкістю м/с. У момент часу = 0 на неї почала діяти стала за величиною сила Н. Ця сила діяла протягом = 10 с. Визначити зміну кінетичної енергії за цей час.
Визначити момент інерції однорідного тонкого стержня відносно осі, що проходить через один з його кінців перпендикулярно до осі стержня. Довжина стержня 2 м, а його маса 3 кг.
У

Рис. 1
циліндричну посудину налито дві рідини з густинами =700 кг/м³ (бензин) і =1200 кг/м³ (гліцерин). На межі поділу цих рідин плаває невеликий диск (густина матеріалу, з якого його виготовлено, =900 кг/м³ (1.дуб)). Товщина диска 5 см (див. рис. 1). Визначити глибину занурення диска у другу рідину (у см).
Точка бере участь у двох коливаннях одного напрямку, які відбуваються за законами (a = 10 см). Знайти початкову фазу результуючого коливання точки.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 3 по списку студента

Аеростат піднімається вгору із швидкістю 1 м/с. У момент, коли він знаходився на висоті 100 м, з нього випав камінь. Знайти час, за який камінь досягне поверхні Землі.
Тіло масою 10 кг рухається прямолінійно, причому залежність пройденого шляху від часу дається рівнянням , знайти величину сили, що діє на тіло наприкінці першої секунди руху.
Тіло масою 10 кг, кинуте під кутом до горизонту, через 2 с впало на землю на відстані 10 м від місця кидання. Визначити потенціальну енергію в найвищій точці траєкторії.
Маховик масою m ₁ = 1,0 кг закріплений на шківі радіуса г = 5,0 см і масою m ₂ = 2 кг. Ця система приводиться у рух за допомогою тягарця масою m ₃ = 5 кг, що прив'язаний до одного з кінців мотузки, яка намотана на шків. Визначити частоту обертання маховика через t = 25 с. Вважати, що вся маса маховика розподілена по його ободу на відстані R = 40 см від осі обертання.
Циліндричний бак розташований вертикально. Діаметр бака 1 м, а висота 5 дм. Бак повністю заповнили водою і в центрі днища зробили круглий отвір діаметра 1 см. Визначити час (у хв.), протягом якого вода повністю витече з бака.
Визначити період гармонічних коливань диска радіуса 10 см навколо горизонтальної осі, що проходить через середину радіуса диска перпендикулярно до його площини.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 4 по списку студента

Камінь кинули з вишки у горизонтальному напрямі з швидкістю 20 м/с. Визначити радіус кривизни траєкторії каменя в кінці 0,2 секунди після початку руху.
Тіло сковзає по похилій площині, що становить із обрієм кут 35°. Пройшовши відстань 50 см, тіло здобуває швидкість 2 м/с. Чому дорівнює коефіцієнт тертя тіла об площину?
Автомобіль масою 2 т рухається вгору по схилу з кутом нахилу 10° з швидкістю 15 м/с і проходить шлях 1,0 км. Визначити середню потужність, яку розвиває автомобіль під час руху. Коефіцієнт тертя 0,05.
Дві кулі однакового розміру, виготовлені з алюмінію і міді, обертаються незалежно друг від друга в одному напрямку навколо загальної нерухомої вісі, яка проходить через їхні центри, з кутовими швидкостями 1 рад/с і 2 рад/с. Скільки відсотків будуть складати втрати на нагрівання від їхньої кінетичної енергії . = 3.
Куля густиною 2000 кг/м³ рівномірно падає у воді, динамічна в’язкість якої 0,001 Па*с, зі швидкістю 8 дм/с. Визначити радіус кулі (у мм).
Амплітуда затухаючих коливань за час 20 с зменшилась у 1,5 рази. У скільки разів вона зменшиться за 1 хв?

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 5 по списку студента

Диск радіуса 10 см, що знаходився у стані спокою, почав обертатися із сталим кутовим прискоренням . Знайти повне прискорення точок на ободі диска в кінці першої секунди після початку руху.
Дві гирі 10 кг й 5 кг з'єднані ниткою й перекинуті через невагомий блок. Знайти натяг нитки в процесі руху гир. Тертям у блоці знехтувати.
Куля масою m = 0,2 кг, рухаючись по горизонтальній поверхні, вдаряється в нерухомий куб масою М = 7,8 кг. Удар центральний і пружний. Внаслідок удару куб перемістився по горизонтальній поверхні на відстань S = 1 м і зупинився. Коефіцієнт тертя 0,01. Визначити кінетичну енергію системи до удару.
На якій висоті (у Мм) від Землі прискорення вільного падіння у 25 разів менше за прискорення вільного падіння на поверхні Землі? Радіус Землі 6400 км.
Бак об’ємом 2 м³ необхідно заповнити водою за 5 хвилин. Визначити найменший радіус труби (у см), яка з’єднує бак з водонапірною вежею, що знаходиться на відстані 484 м, якщо рівень води в вежі на 1 м вищий за рівень отвору в баку.
Хвилі поширюються зі швидкістю 400 м/с при частоті 500 Гц. Чому дорівнює різниця фаз двох точок (у радіанах), що знаходяться на відстані 10 см одна від одної?

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 6 по списку студента

Рух матеріальної точки задано рівнянням , м. Визначити швидкість точки в кінці 1 секунди руху.
Чому дорівнює діюча на тіло сила через 10 с від початку руху, якщо його рух описується рівнянням ? Маса тіла 0,1 кг.
Тіло масою 0,5 кг ковзає з гірки, довжина основи якої 20 м, а висота 10 м. Після того як тіло з'їхало до підніжжя гірки, з'ясувалося, що воно виконало роботу А = 4,4 Дж. Визначити коефіцієнт тертя між тілом і поверхнею гірки.
О

Рис.1
днорідний стержень масою 6 кг і довжиною 2 м обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр мас. Обертальний рух стержня описується рівнянням , рад. За яким законом змінюється момент сили, що діє на стержень і приводить його в рух? Знайти момент сили М в момент часу t = 2 с.
У підводному човні на глибині 200 м утворилася пробоїна площею 5 см². Яка мінімальна сила потрібна, щоб закрити пробоїну із внутрішньої сторони (у кн.)?
На рис. 1 зображено графік гармонічного коливання. Записати його рівняння і обчислити, швидкість через час 2 хв після початку коливання.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 7 по списку студента

На висоті 100 м тіло, що вільно падає, мало швидкість 40 м/с Чому дорівнювала швидкість тіла на висоті 61 м/с?
Визначити коефіцієнт тертя між похилою площиною й тілом, що рухається по ній, якщо відомо, що це тіло, маючи початкову швидкість 5 м/с і рухаючись нагору по похилій площині, проходить шлях 2 м. Кут нахилу площини 12 градусів.
Обчислити роботу, що виконується на шляху 20 м рівномірно зростаючою силою, якщо на початку руху вона дорівнювала 10 Н, а через 10 м руху - 40 Н.
Через блок, який може обертатися навколо горизонтальної нерухомої осі, перекинуто нитку і до її кінців прикріплено тягарці масами 3 кг і 2 кг. Маса блока 6 кг. Вважаючи блок однорідним диском, визначити лінійне прискорення, з яким рухається система. Нитку вважати нерозтяжною і невагомою. Тертям у блоці знехтувати.
В изначити натяг нитки (мН), що зв'язує дві кульки об'ємом 16 см³кожна (див. рис). Верхня кулька плаває наполовину занурившись у воду. Нижня кулька має масу втричі більшу, ніж верхня.
Додаються два гармонічних коливання. Визначити амплітуду результуючого коливання. м.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 8 по списку студента

Положення тіла задається радіусом-вектором . Знайти швидкість тіла в момент часу t = 1 с.
М'яч масою 100 м летить горизонтально з деякою швидкістю й ударяється об нерухому стіну. За час 0,01 с він стискується на 1,37 см. Стільки ж часу він відновлює свою форму. Знайти середню силу, що діє на стіну за час удару.
Вираз потенціальної енергії частинки масою 8 кг має вигляд: . Визначити прискорення яке має частинка в точці А(2; 1; 2).
Яку роботу необхідно виконати, щоб однорідній кулі масою 100 кг і радіусом 0,5 м надати частоту обертання 10 об/хв, якщо вона знаходилася у спокою.
Кумулятивний струмінь із заліза (густина заліза 8000 кг/м³⁾, який має середню швидкість 7 км/с, проникає в стальну броню зі швидкістю 7/1,6 км/с. Тиск струменя на броню описується рівнянням Бернуллі. Обчислити тиск (у ГПа) струменя на броню.
Визначити момент інерції тіла масою m = 10 кг, що коливається з частотою = 3 Гц, якщо відомо, що відстань від точки підвісу до центра ваги L = 0,5 м.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 9 по списку студента

Знайти нормальне і тангенціальне прискорення тіла, яке кинуто з початковою швидкістю 10 м/с під кутом 31° до горизонту, через 0,3 с польоту.
Тіло масою 10 кг рухається зі швидкістю 1 м/с уздовж радіуса горизонтальної платформи, що обертається із частотою 60 1/хв. Визначити діючу на тіло силу Коріолиса.
Куля масою 10 г, що летить горизонтально, попадає в підвішену кулю масою 30 г і застряє в ній. Яка частина кінетичної енергії кулі перетвориться у теплоту?
Однорідний диск котиться без ковзання вгору по похилій площині і досягає висоти Н = 2,7 м. Визначити початкову швидкість, яку мав центр мас диска.
У широкій посудині, заповненій касторовим маслом, падає стальна кулька(густина 8000 кг/м³⁾ із сталою швидкістю 4 дм/с. Динамічна в'язкість касторового масла при температурі досліду 2 Н*с/м². Визначити діаметр кульки.
Тіло масою 0,25 кг здійснює коливання під дією пружної сили (k = 10Н/м). Визначити коефіцієнт опору r в’язкого середовища, якщо період затухаючих коливань дорівнює 2,1 с.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 10 по списку студента

Колесо радіуса 0,1 м обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу описується рівнянням . Для точок на ободі колеса знайти через с після початку руху лінійну швидкість.
Камінь, прив'язаний до мотузки, рівномірно обертається у вертикальній площині. Знайти масу каменю, якщо відомо, що різниця між максимальним і мінімальним натягом мотузки дорівнює 10 Н.
Прикріплений до пружини вантаж повільно опускають до положення рівноваги, причому пружина розтягується на довжину = 15 см. На яку довжину розтягнеться пружина, якщо вантаж опускатиметься вільно?
Визначити масу Землі (відповідь помножити на ), якщо відомо, що штучний супутник на висоті 1 Мм має період обертання 105,6 хв.
Сила лобового опору набігаючого на автомобіль повітря, при швидкості руху 144 км/год, дорівнює 1857,6 Н. Визначити коефіцієнт лобового опору, якщо переріз меделя автомобіля дорівнює 2 м², а густина повітря 1,29 кг/м^3.
Визначити довжину хвилі, якщо дві точки середовища, які знаходяться на одному промені на відстані 10 дм, коливаються з різницею фаз .

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 11 по списку студента

Швидкість тіла змінюється за законом ,м/с. Знайти прискорення тіла через 2 с руху.
Під дією деякої сили тіло масою 5 кг знаходиться у прямолінійному русі, який описується рівнянням . Чому дорівнює сила, що діє на тіло в момент часу t = 5 с?
Автомобіль масою 1000 кг починає рухатися по колу радіуса 100 м з тангенціальним прискоренням 5 дм/с². Обчислити роботу двигуна, яку він виконує за один оберт автомобіля по колу. Коефіцієнт опору 0,1.
Циліндр масою 10 кг і радіуса 0,2 м обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр мас. Обертальний рух циліндра описується рівнянням . При цьому А = 1 рад/с³, В = 4 рад/с², С = 5 рад. За яким законом змінюється момент сили, що діє на поверхню циліндра і приводить його в рух? Знайти цей момент сили М в момент часу t = 2 с.
В ідлита із сталі порожниста куля плаває у воді, занурившись наполовину. Знайти об'єм внутрішньої порожнини кулі (у с м³⁾, якщо маса її 5 кг, а густина сталі 7,8*10³ кг/м³.
На рис. 1 зображено графік гармонічного коливання. Записати його рівняння і обчислити відхилення х від положення рівноваги, швидкість та прискорення через час 60 с після початку коливання.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 12 по списку студента

Тіло починає падати з висоти 100 м з прискоренням 9,81 м/с² вздовж вертикалі і з прискоренням 4.9 м/с² рухатись вздовж горизонталі. Знайти швидкість тіла через 0,1 с після початку цього польоту.
Вагон масою 104 кг відчепився від потягу, що рухається, і, рухаючись рівномірноуповільнено, за 100 с пройшов шлях 20 м, після чого зупинився. Знайти коефіцієнт тертя.
Санки масою 100 кг спускаються з гори і далі ковзають по горизонтальній поверхні льоду. Яку відстань пройдуть санки по льоду, якщо біля підніжжя гори вони досягають швидкості 5 м/с? Коефіцієнт тертя між полозками санок і поверхнею льоду 0,035.
Визначити момент інерції однорідного тонкого стержня відносно осі, що проходить на відстані 25 см від одного з його кінців перпендикулярно до осі стержня. Довжина стержня 1 м, а його маса 24 кг.
У горизонтально розташованій трубі з поперечним перерізом 20 см² та 12 см²тече рідина. Різниця рівнів рідини у двох монометричних трубках, встановленних у широкій і вузькій частинах труби, дорівнює 4 см. Визначити обєм рідини, що протікає по трубі за 1 с.
Додаються два гармонічних коливання. Визначити амплітуду і початкову фазу результуючого коливання. .

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 13 по списку студента

Тіло кинуто з поверхні землі під кутом 45° до горизонту з початковою швидкістю 10 м/с. Не враховуючи опору повітря, знайти далекість польоту.
Яку максимальну силу необхідно розвити при натягу лука на 20 см, якщо вся робота, яку виконано, йде на збільшення кінетичної енергії стріли, а найбільша дальність польоту стріли 35 м? Маса стріли 50 г.
Вираз потенціальної енергії частинки масою 23 кг має вигляд: . Визначити модуль прискорення яке має частинка в точці А(2; 2; 2).
Велосипедист, маса якого разом з велосипедом 80 кг, їде рівномірно по дорозі. Маса кожного колеса велосипеда 5 кг. Колеса обертаються з кутовою частотою 0,4 с-¹. Визначити кінетичну енергію системи. Колеса вважати тонкими кільцями радіуса 0,5 м.
Шприц, розміщений горизонтально, максимально заповнений ліками з густиною 900 кг/м³. Під дією сталої сили 25 Н, прикладеної до поршня площею S = 1,2 см² за час t = 0,5 с, всі ліки повністю витікають із шприца. Хід поршня шприца 4 см. Визначити площу поперечного перерізу внутрішнього отвору голки шприца.
На невагомому стержні довжиною 10 см закріплено два однакових тягарці (m =100 г): один на середині стержня, другий на кінці. Стержень коливається навколо горизонтальної осі, що проходить через вільний від тягарців кінець. Визначити період коливань такого фізичного маятника.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 14 по списку студента

Частинка рухається згідно з рівняннями . Знайти модуль переміщення частинки за першу секунду руху.
П о горизонтальній ділянці дороги їде велосипедист, описуючи дугу радіусом 5 м. Під яким кутом до обрію нахилений велосипедист, якщо його швидкість 6 м/с?
Тіло масою 8 кг ударяється об стіну під кутом 60° до нормалі зі швидкістю 10 м/с, а відскакує від неї зі швидкістю 6 м/с під кутом 45°. Визначити модуль імпульсу, що дістала стіна. Яка кількість теплоти виділилася під час удару?
Циліндр масою 1 кг і радіуса 1 см опускається на нитках, маса яких набагато менша від т. Знайти швидкість точки А наприкінці п’ятої секунди від початку.
Куля радіусом 5 мм і середньою густиною 200 кг/м³. Вспливає в посудині, яка заповнена маслом густиною 920 кг/м³ з динамічною в’язкістю 0,8 Па*с. Визначити швидкість рівномірного руху кулі.
Період власних коливань пружинного маятника дорівнює 1 с. У в'язкому середовищі період Т цього самого маятника становить 1,1 с. Визначити резонансну частоту коливань.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 15 по списку студента

Диск радіуса 1 см обертається згідно з рівнянням . Визначити повне прискорення точок краю диска для моменту часу t = 0,2 с.
Нейтрон ударяється об нерухоме ядро атома, маса якого в 5 раз більше маси нейтрона. Уважаючи удар центральним і пружним, знайти, яку частину своєї швидкості втратить нейтрон при ударі.
Тіло масою 1 кг падає з висоти 22 дм від полу на невагому пружину жорсткістю 200 Н/м і завдовжки 6 см, що стоїть вертикально на полу. Визначити максимальну швидкість тіла при падінні.
Яку швидкість (у км/с) необхідно надати тілу, щоб воно могло віддалитися с поверхні Луни в нескінченність? Маса Луни 7,35*10 ²² кг, а її радіус 1,74 Мм.
Потужність двигуна вантажного автомобіля 62,5 кВт. Частина цієї потужності (20 %) йде на виконання роботи для подолання опору повітря при турбулентному русі з швидкістю 12,4 м/с. Густина повітря 1,29 кг/м³, коефіцієнт опору взяти таким, що дорівнює Сх = 0,6. Визначити площу меделя автомобіля.
Знайти різницю фаз (у радіанах) коливання двох точок, що лежать на відстані 30 м і 40 м від джерела поперечної хвилі, що поширюється вздовж шнура з швидкістю 25 м/с і з частотою 2 Гц.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 16 по списку студента

Першу чверть шляху мотоцикліст проїхав зі швидкістю 10 м/с, другу зі швидкістю 15 м/с, третю зі швидкістю 20 м/с й останню зі швидкістю 1 м/с. Визначити середню швидкість.
Чому дорівнює кінетична енергія тіла масою 25 г через 5 с від початку руху, якщо її рух описується рівнянням .
Розрахувати роботу, що виконується на шляху s = 11 м силою, яка рівномірно зростає від F₁ =10 Н на початку руху до F₂ =46 Н в кінці руху.
Тонкостінна труба масою 5 кг і радіуса 0,2 м обертається навколо нерухомої осі, що збігається з віссю труби. Обертальний рух труби описується рівнянням . При цьому А = 1 рад/с³, В = 4 рад/с², С = 5 рад. За яким законом змінюється момент сили, що діє на поверхню труби і приводить її в рух? Знайти кінетичну енергію тіла в момент часу t = 2 с.
З литок з золота та срібла зважують у повітрі і воді. Показники динамометра відповідно дорівнюють 5 та 3,5 Н. Визначити масу срібла та золота у злитку. кг/м³
Точка здійснює коливання згідно з графіком, зображеним на рис. Якою буде її швидкість через 2 с?

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 17 по списку студента

Рух матеріальної точки задано рівнянням; , м. Визначити середню швидкість її руху в інтервалі часу від 2 с до 4 с.
Чому дорівнює коефіцієнт тертя колеса автомобілю об дорогу, якщо при швидкості 10 м/с тормозний шлях дорівнює 25 м?
Щоб стиснути пружину на 1 см потрібна сила 8 Н. Яку роботу треба затратити на стискання пружини на 5 см?
Телеграфний стовп висотою 7,5 м підрізали біля поверхні Землі. З якою лінійною швидкістю впаде на Землю верхівка стовпа? Стовп вважати однорідним і тонким стержнем.
П отік води площею поперечного перерізу = 4 см² витікає в горизонтальному напрямі із брандспойта, розташованого на висоті Н = 2 м над поверхнею Землі і падає на неї на відстані 8 м від отвору брандспойта (див. рис.). Знаючи надлишковий тиск р = 2,25 кПа води в рукаві, знайти його поперечний переріз.
Матеріальна точка здійснює одночасно два коливання м. Визначити амплітуду результуючого коливання. Записати його рівняння.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 18 по списку студента

Рух матеріальної точки задано рівняннями: , м. Визначити модуль її швидкості в момент часу t = 1 с.
Стальний дріт довжиною 250 м піднімають до гори під дією сили, яка прикладена до його верхнього кінця. При якому прискоренні дріт розірветься? Межа порочності для сталі 0,69 ГПа, а густина 6,9*10³кг/м³
Автомобіль масою 3 т рухається з гори при вимкненому двигуні з сталою швидкістю 2 м/с. На ту саму гору автомобіль може рухатися з такою самою швидкістю, якщо двигун його буде розвивати потужність N = 48 кВт. Визначити схил гори (у градусах).
До одного кінця вірьовки, перекинутої через блок, підвішена куля масою т = 1кг. На другий кінець вірьовки діє сила , де t - час. Блок має форму диска масою 3 кг. З яким прискоренням рухається куля через 2 с від початку дії сили?
В дні циліндричної посудини діаметром 1 м мається отвір діаметром 5 см. Визначити швидкість зниження рівня рідини в посудині для висоти 0,2 м.
На кінцях стержню, маса якого 696 г ш довжина 1 дм, закріплені дві дуже малі кулі масами 70 і 90 г, а система підвішена так, що може виконувати коливання навколо горизонтальної вісі, яка проходить через середину стержня. Визначити період малих коливань системи.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 19 по списку студента

Тіло кинуте в горизонтальному напрямку зі швидкістю 1 м/с. Визначити нормальне прискорення тіла через 2 с після початку руху.
На похилій площині з кутом нахилу 30^олежить тіло. Похила площина рухається з прискоренням 1 м/с², напрямленим горизонтально. Чому дорівнює значення коефіцієнту тертя, якщо тіло не зісковзує з цієї площини? Розглянути два випадки.
Вираз потенціальної енергії частинки в деякому полі має вигляд , де r - відстань від центра поля до частинки. При якому на частинку не діятиме сила з боку поля?
Платформа у вигляді суцільного диска радіуса 1 м і масою 10 кг обертається за інерцією з кутовою частотою 6 1/хв. На краю платформи стоїть людина, маса якої 80 кг. З якою кутовою частотою обертатиметься платформа, якщо людина перейде в її центр? Людину вважати точковою масою.
Якої найбільшої швидкості може досягнути крапля дощу діаметром 0,36 мм, якщо динамічна в’язкість повітря 0,00012 г/см*с?
Знайти число N повних коливань, коли енергія системи зменшилась в 2 рази. Логарифмічний декремент затухання 0,007.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 20 по списку студента

Визначити кутову швидкість твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі за законом , рад., у момент часу t = 1 с.
Куля з пластмаси, яка падає з висоти 1 м, декілька разів відскакує від підлоги. Чому дорівнює коефіцієнт відновлення при ударі кулі об підлогу, якщо з моменти падіння до другого удару об підлогу проходить 1,3 с?
Куля масою 10 г, рухаючись зі швидкістю 500 м/с, влучає в ціль. З якою середньою силою діяла куля на ціль, якщо вона проникла в неї на глибину 1 см. Втратами енергії на нагрівання кулі знехтувати.
Знайти середню кутову частоту (у мрад/с) орбітального руху космічного корабля, якщо період обертання його навколо Землі 105 хв.
Визначити потужність повітряного потоку (у кВт), що набігає на електропоїзд, який рухається зі швидкістю 72 км/рік, якщо площа лобової поверхні поїзду 10 м², а коефіцієнт опору 0,5.
Поперечна хвиля довжиною 7 м поширюється вздовж пружного шнура з швидкістю 10 м/с. Максимальне відхилення точок шнура 2 см. Визначити швидкість точки, яка знаходиться на відстані 48,3 м від джерела хвилі в момент часу 5 с.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 21 по списку студента

Тіло кинуте зі швидкістю 10 м/с під кутом 45° до обрію. Знайти радіус кривизни траєкторії тіла через 1 с після початку руху.
До нитки підвішене тіло. Якщо це тіло піднімати з прискоренням 5 м/с² натяг нитки буде вдвічі меншим того натягу, при якому нитка розірветься. З яким прискоренням треба піднімати тіло, щоб нитка розірвалася?
Яку роботу треба виконати для того, щоб витягти тіло масою 10 кг на гірку з довжиною основи = 1 м і висотою Н = 0,5 м, якщо коефіцієнт тертя 0,2?
Пустотілий циліндр масою 10 г з зовнішнім радіусом 0,2 м і внутрішнім – 0,1 м обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр мас. Обертальний рух циліндра описується рівнянням , рад. За яким законом змінюється момент сили, що діє на поверхню циліндра і приводить його в рух? Знайти момент сили М в момент часу t = 2 с.
На яку висоту підніметься струмінь води, що витікає із шланга, якщо надлишковий тиск води у водопроводі 2*10⁵ Па?
Написати рівняння гармонічного коливання з амплітудою А = 5 см, якщо за час t = 1 хв здійснюється 300 коливань. Початкова фаза дорівнює . Накреслити графік цього коливального руху. Якою буде швидкість через 0,16 с?

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 22 по списку студента

З вежі висотою 25 м кинули камінь зі швидкістю 15 м/с під кутом 30° до обрію. Визначити як далеко камінь полетить від вежі.
Потяг вагою 4,9*10⁶ Н після перепинення тяги локомотива під дією сили тертя у 9,8*10⁴ Н зупиняється протягом 5 с. З якою швидкістю рухався потяг?
Т іло масою 2 кг, кинуте під кутом до горизонту, через 2 с впало на землю на відстані 10 м від місця кидання. Визначити роботу кидання. Опором повітря знехтувати.
На шків маятника Обербека намотана нитка, до якої підвішено тягарець М = 0,8 кг. Радіус шківа г = 3 см. На хрестовині закріплено чотири тягарці масою по 250 г на відстанях від осі по 30 см. Маса стержня 0,12 кг, довжина 0,04 м. Знайти прискорення, з яким опускається тягарець.
Кусок руди важить у повітрі 1 Н, а у воді – 0,71 Н. Визначити скільки відсотків складає пуста порода, якщо її густина 2000 кг/м³, а корисної компоненти – 6700 кг/м³.
Матеріальна точка здійснює одночасно два коливання . Визначити амплітуду результуючого коливання.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 23 по списку студента

Колесо, через 1 хв після початку обертання, здобуває швидкість, що відповідає частоті 30 оберт/хв. Знайти число оборотів колеса за цю хвилину. Рух уважати рівноприскореним.
Тіло вагою 5 Н рухається прямолінійно. Залежність пройденого шляху від часу описується рівнянням . Визначити силу, яка діє на тіло в кінці першої секунди руху.
Вираз потенціальної енергії частинки масою 7 кг має вигляд . Визначити модуль прискорення в в точці В (-2; 3; 1).
На краю нерухомої лави Жуковського масою 4 кг сидить птах. Він починає рухатись із сталою швидкістю вздовж периметра лави і, дійшовши до вихідної точки, зупиняється. За час, протягом якого птах рухався, лава повернулася на кут 0,5 . Визначити масу птаха.
Ц иліндричний бак, розташований вертикально, наповнений водою і мазутом. Висота води у баку 1 м, густина мазуту 900 кг/м³. У днищі бака зроблено отвір, через який почала витікати вода з початковою швидкістю 6,3 м/с. Знайти висоту шару мазуту у баку. В'язкість води і мазуту не враховувати.
Блок з моментом інерції 0,1 кг*м² радіуса 10 см, тягарець масою 10 кг і пружина з коефіцієнтом пружності k= 10 Н/м з'єднані, як показано на рис. Шнур не може проковзувати по диску. Визначити період коливань тягарця.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 24 по списку студента

Точка рухається по окружності радіусом 10 см з постійним тангенціальним прискоренням. Знайти нормальне прискорення її через 20 с після початку руху, якщо відомо, що до кінця п'ятого обороту після початку руху її лінійна швидкість дорівнює 1 см/с.
Два тіла, що рухались назустріч друг другу, зіштовхуються не пружно. Швидкість першого тіла до удару дорівнювала 2 м/с, швидкість другого - 5 м/с. Загальна швидкість тіл після зіткнення співпадає по напрямку з напрямком швидкості першого тіла і дорівнює 1 м/с. Визначити відношення кінетичної енергії першого тіла до удару до кінетичної енергії другого тіла.
Визначити силу, з якою гімнаст масою 60 кг діє на пружну сітку після плигання з висоти 8 м, якщо під дією сили тяжіння гімнаста сітка прогинається на 9 см.
Визначити прискорення центра кулі, яка скочується з похилої площини. Похила площина утворює з горизонтом кут л/6. Проковзування відсутнє.
Одна посудина заповнена гліцерином, а друга—трансформаторним маслом. Густина і в'язкість гліцерину та масла відповідно = 1,21 г/см³, = 0,35 Па*с і = 850 кг/м³; = 0,05 Па*с. Всередині посудин поміщають алюмінієві кульки, діаметри яких 0,1 мм. Обчислити відношення швидкостей падіння кульок.
Амплітуда коливань маятника довжиною / = 1 м за час 2 хв зменшилася в два рази. Визначити логарифмічний декремент затухання системи.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 25 по списку студента

Колесо радіусом 1 см обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу задано рівнянням . Знайти для точок, що лежать на обіді колеса, зміну тангенціального прискорення за кожну секунду руху.
Визначити найбільшу абсолютну деформацію ресори від тіло, що покладено на її середину, якщо статична деформація її від того ж самого тіла дорівнює 5 мм.
Кулька масою 0,01 кг, що має швидкість 500 м/с, пробиває кулю масою 10 г, яка висить на нитці. При цьому швидкість кульки зменшилася до 100 м/с. Яка частина енергії кульки перейшла в теплоту?
Яку енергію необхідно надати супутнику масою 1 т, щоб вивести його на колову орбіту на висоту 1792 км над поверхнею Землі? Радіус Землі 6400 км. Опором повітря знехтувати.
Визначити найбільшу швидкість, яку може отримати вільно падаюча в повітрі (густина повітря 1,29 кг/м³) куля масою 4 г, площею перетину 1 см². Коефіцієнт лобового опору вважати рівним 0,5.
Визначити швидкість поширення хвиль у пружному середовищі, якщо різниця фаз коливань двох точок середовища, що знаходяться на відстані 6 см одна від одної, дорівнює . Частота коливань 25 Гц.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 26 по списку студента

Камінь кинутий горизонтально зі швидкістю 10 м/с Знайти радіус кривизни траєкторії каменю через 3 с від початку руху.
Під дією сталої сили тіло масою m = 2 кг здійснює прямолінійний рух, що описується рівнянням . Визначити силу, що діє на тіло через 2 с після початку руху.
Камінь масою 500 г кинули під кутом до горизонту з висоти 20 м над поверхнею землі з швидкістю 18 м/с. Через деякий час цей камінь упав на землю з швидкістю 24 м/с. Знайти роботу, яка була виконана проти сил опору повітря.
Дві однакові скріплені сфера масами по 10 кг і радіусами по 0,2 м обертаються навколо нерухомої осі, що проходить через їхній центр мас по дотичній до їхніх поверхонь. Обертальний рух сфер описується рівнянням . При цьому А = 1 рад/с³, В = 4 рад/с², С = 5 рад. За яким законом змінюється момент сили, що діє на сфери і приводить їх в рух? Знайти момент сили М в момент часу t = 2 с.
Дубова куля лежить на дні посудини з водою, причому 10% її об’єму знаходиться у воді. З якою силою куля давить на дно посудини, якщо в повітрі вона важить 8 Н? Густина дуба 800 кг/м³.
Точка здійснює коливання за законом . Визначити початкову фазу, якщо в момент часу t = 0 х = - м, а швидкість

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 27 по списку студента

К

Рис. 1
амінь, кинутий зі швидкістю 10 м/с під кутом 45° до обрію, упав на землю на деякій відстані від місця кидання. З якої висоти треба кинути камінь у горизонтальному напрямку, щоб при тій же початковій швидкості він упав на те ж місце?
Невагомий блок закріплено на вершині двох похилих площин, що складають з горизонтом кути відповідно = 30°, = 45° (рис.). Через блок перекинуто нитку, до кінців якої прикріплено тягарці m ₁ = 1,5 кг, а m ₂ = 1 кг. Нехтуючи тертям, знайти силу натягу нитки.
Вираз потенціальної енергії частинки має вигляд . Визначити середню потужність при виконанні роботи під час переміщення частинки з точки В (-2; 3; 1) в точку A (2; 2; 2), якщо переміщення відбулося за 5 с.
Маховик (кільце), радіус якого 0,2 м, вільно обертається навколо горизонтальної осі, що проходить через його центр перпендикулярно до площини. Частота обертання маховика 11 Гц. При гальмуванні маховик повністю зупиняється через 20 с. Момент гальмівної сили М = - 0,76 Н*м. Знайти масу маховика.
Найти швидкість течії по трубі газу, якщо відомо, що за 10 хвилин через поперечний переріз труби протікає 0,51 кг газу. Густина газу 7,5 кг/м³, а діаметр труби 2 см.
Додаються два гармонічні коливання (м), напрямлені вздовж однієї прямої. Визначити амплітуду результуючого коливання.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 28 по списку студента

Знайти радіус обертового колеса, якщо відомо, що лінійна швидкість точки, що лежить на обіді, в 2,5 рази більше лінійної швидкості точки, що лежить на 1 см ближче до осі колеса.
Вагон гальмується, і його швидкість за час 0,5 с рівномірно зменшується від 48 до 30 км/год. Яким повинен бути граничний коефіцієнт тертя між чемоданом і полицею, щоб чемодан при гальмуванні не ковзав по ній?
Н

Рис. 1
а столі лежить гнучка вірьовка масою т = 0,8 кг, завдовжки = 2 м. Якщо четверту частину вірьовки звісити зі столу, то вона почне зсковзувати з нього. Яку роботу виконає сила тертя, що діє на вірьовку, якщо вона повністю зсковзне?
З похилої площини скочується без ковзання однорідний диск. Лінійне прискорення центра мас диска 3,9 м/с². Сила тертя кочення 10 Н. Знайти масу диска.
На якій мінімальній висоті необхідно зробити отвір у стінці бака висотою 8 м, щоб дальність польоту води в початковий момент дорівнювала 25 дм?
Маятник, початкова довжина якого 2 м (див. рис.), відхилили на невеликий кут і відпустили. В момент кожного проходження кулькою положення рівноваги довжину маятника зменшують на 20 см. Через який час довжина маятника становитиме 1 м?

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 29 по списку студента

Точка рухається по окружності радіусом 20 см з постійним тангенціальним прискоренням 1 см/с. Через який час після початку руху її нормальне прискорення буде дорівнювати тангенціальному?
На двох паралельних пружинах однакової довжини висить невагомий стержень довжиною 5 дм. Жорсткість пружин 2 Н/м і 3 Н/м. У якому місці стержня, відраховуючи від першої пружини, треба підвісити вантаж, щоб стержень залишався горизонтальним?
Частинки масами =5 кг і =10 кг мають відповідно швидкості і . Визначити втрати механічної енергії частинок після їхнього не пружного зіткнення.
До вертикальної гладенької стінки на мотузці довжиною 0,5 м підвішена куля масою 5 кг. Чому дорівнює сила натягу мотузки Т, якщо радіус кулі дорівнює 6,2 см? Тертям знехтувати.
Куля спливає з постійною швидкістю в рідині, густина якої у 4 рази більше за густину матеріалу кулі. Знайти відношення сили тертя, що діє на спливаючу кулю, до його ваги.
Точка масою 8 г здійснює гармонічні коливання за законом косинуса з періодом Т = 3,14 с і початковою фазою, що дорівнює нулю. Повна енергія точки Е = 1 мДж. Знайти амплітуду коливань А і записати рівняння процесу. Знайти максимальне значення сили, що діє на точку.

Контрольна робота №1

Варіант А

Завдання для 30 по списку студента

Точка рухається по окружності так, що залежність шляху від часу дається в рівнянням . Знайти повне прискорення її через 3 с з початку руху, якщо відомо, що її нормальне прискорення через 2 с дорівнює 1 м/с.
Тіло зісковзує по похилій площині, кут нахилу якої до горизонту 30°. При цьому в деякій точці А тіло мало швидкість 10 см/с, а в точці В його швидкість стала 51,34 см/с. Який час тіло рухалось з точки А в т В, якщо коефіцієнт тертя 0,1?
Самолет поднимается и на высоте 6 км достигает скорости 360 км/ч. Во сколько раз работа, совершаемая при подъеме против силы тяжести, больше работы, идущей на увеличение скорости самолета?
На екваторі планети, період обертання якої навколо своєї осі 2 роки 41,6 хв, тіла важать на 22% менше, ніж на полюсі. Визначити середню густину цієї планети (у т/ м³).
У скільки разів швидкість ламінарної течії рідини в центрі трубки більша від швидкості її у точках, які віддалені від центра трубки на 0,724 радіуса.
Дві електрички їдуть назустріч одна одній із швидкостями 72 км/рік і 54 км/год. Перша електричка дає сигнал на частоті 550 Гц. Знайти частоту звуку, який почує пасажир другої електрички: 1) до зустрічі електричок; 2) після зустрічі. Швидкість поширення звуку в повітрі вважати рівною 340 м/с.

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі x має вигляд x = А + Вt + Сt³, де А = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с³. Знайти координату x, швидкість υ і прискорення а точки в момент часу, який дорівнює 2 с.

Розв'язання. Координату x знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В і С і часу t: x = (2+1·2 – 0,5·2³ ) = 0. (м)

Миттєва швидкість відносно осі x є першою похідною від координати за часом (дивись формулу (1.6) «Методичний посібник з фізики»):

Прискорення точки знайдемо, визначивши першу похідну від швидкості за часом (1.12):

У момент часу t = 2 с маємо: (1-3 · 0,5 · 2² ) = - 5 м/с; а = 6 · (-0,5) · 2 = - 6 м/с².

Задача 2. Радіус-вектор матеріальної точки визначається виразом (м). Знайти: 1) швидкість і прискорення точки; 2) модуль швидкості в момент часу t = 2 с; 3) шлях S, пройдений за перших 10 с руху; 4) модуль переміщення за цей самий час.

Розв'язання. Оскільки швидкість величина векторна, то її можна представити у вигляді (1.17)

де - проекції вектора швидкості на координатні осі, які знайдемо за допомогою співвідношень (1.8):

Тоді Модуль швидкості в момент часу t = 2 с дорівнює:

= = 20 м/с.

Прискорення величина векторна, тому , де - проекції вектора прискорення на координатні вісі, вони дорівнюють першим похідним від швидкості за часом: Тоді Оскільки прискорення не залежить від часу, то рух рівноприскорений. Модуль прискорення в момент часу t = 2 с дорівнює = 10м/с².

Шлях можна знайти за рівнянням = 500 м.

Модуль переміщення дорівнює = 500 м.

- рух прямолінійний.

Задача 3. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом ,

де А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с². Визначити повне прискорення точки, що міститься на відстані 0,1 м від осі обертання, через 4 с після початку руху.

Розв'язання. Повне прискорення точки, що рухається по кривій лінії, може бути знайдено як геометрична сума тангенціального прискорення , напрямленого по дотичній до траєкторії, і нормального прискорення напрямленого до центра кривини траєкторії (1.23):

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні, то модуль повного прискорення (1.24). Модулі тангенціального і нормального прискорення точки тіла, що обертається, визначається формулами: , ,

де ω – модуль кутової швидкості тіла; ε – модуль кутового прискорення тіла.

Підставляючи вирази й у формулу повного прискорення, знаходимо

Кутову швидкість ω визначимо, визначивши першу похідну кута повороту за часом:

У момент часу t = 4 с модуль кутової швидкості

ω = [20+2(-2)· 4] рад/с = 4 рад/с.

Кутове прискорення знайдемо, визначивши першу похідну від кутової швидкості за часом: рад/с². Виконуємо обчислення: м/с² = 1,65 м/с².

Задача 4. Канатною дорогою, що має нахил 45^о до горизонту, рухається вагон вагою 10 кН. Вагон гальмується і зупиняється наприкінці спуску. Визначити силу натягу каната, якщо швидкість вагона перед гальмуванням дорівнювала 10 м/с, а час гальмування – 10 с. Коефіцієнт тертя – 0,1.

Рис.

Розв'язання. Розглянемо сили, що діють на вагон (див.рис.). На вагон під час руху діють чотири сили: сила тяжіння (напрямлена вертикально униз), сила реакції опору (напрямлена перпендикулярно до поверхні), сила натягу каната і сила тертя . Згідно з другим законом Ньютона (1.29) рівнодійна всіх цих сил визначає прискорення тіла:

Замінімо векторну рівність рівняннями у проекціях. Направляє вісі OX i OY як вказано на малюнку, запишемо рівняння тіла в проекціях на осі OX i OY (проекції сил, напрямлених уздовж прискорення, будемо вважати додатними):

(1)

(2)

Силу тертя визначимо через коефіцієнт тертя і силу реакції опору:

З (1) сила натягу

Прискорення вагона знаходимо з формули швидкості для рівноуповільненого руху. Оскільки наприкінці спуску швидкість вагона дорівнює нулю, то

Підставивши вирази для F_Тр і а у формулу для Т та врахувавши, що дістанемо:

Виконуємо обчислення:

Н.

Задача 5. Молекула масою 4,65·10^-26 кг, що летить по нормалі до стінки посудини зі швидкістю 600 м/с, ударяється об стіну і пружно відскакує від неї без зміни швидкості. Знайти імпульс сили, отриманий стінкою.

Розв'язання. Із другого закону Ньютона випливає, що імпульс сили, отриманий молекулою від стінки, дорівнює зміні імпульсу молекули

де - сила, з якою діє стінка на молекулу під час удару; - тривалість удару. З визначення імпульсу

випливає, що змінна імпульсу пропорційна до зміни швидкості:

де - швидкість молекули до удару об стінку; - швидкість молекул після удару.

Після удару напрям вектора швидкості молекули змінився на протилежний: .

Оскільки швидкості напрямлені по нормалі до стінки, то

і ,

де - одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні стінки.

Імпульс сили, отриманий молекулою, напрямленій по нормалі й дорівнює

Відповідно до третього закону Ньютона сили, з якою стінка діє на молекули, дорівнює за значенням і протилежна напрямлена щодо сили, яка діє на стінку з боку молекули:

Звідси імпульс сили, отриманий стінкою, дорівнює:

Задача 6. Гармата стріляє ядром під кутом до горизонту. Маса ядра 10 кг, початкова швидкість 200 м/с. Визначити швидкість відкочування гармати, якщо її маса 500 кг.

Рис. 1

Розв’язання.

За законом збереження імпульсу (1.34):

де - швидкість гармати і ядра до пострілу. Ця швидкість дорівнює нуля, оскільки гармата і ядро перебували у спокої. Тоді закон збереження імпульсу набирає вигляду:

Запишемо закон збереження імпульсу у проекції на вісь Х:

Визначимо швидкість відкочування гармати:

Виконаємо обчислення:

м/с.

Задача 7. Потяг рухається горизонтально. На шляху завдовжки 2 км його швидкість збільшилася з 54 до 72 км/год. Визначити роботу, яку виконує двигун потяга, якщо вага потяга – 8 МН, а коефіцієнт тертя – 0,005.

Розв’язання. За законом збереження і перетворення енергії робота, виконана двигуном потяга, витрачається на збільшення кінетичної енергії та подолання сил тертя:

Робота сил тертя визначається за формулою: .

Виконуємо обчислення:

МДж.

Задача 8. У тіло масою 1,5 кг, що висить на нерозтяжній нитці завдовжки 55 см, влучила куля масою 10 г. Куля летить згори вниз під кутом до горизонту. Швидкість кулі – 400 м/с. На який кут відхилиться нитка з тілом після удару?

Розв’язання. Відповідно до малюнку, кут можна визначити як . Для визначення скористаємося законом збереження механічної енергії, позначивши - швидкість системи куля – тіло після удару влучення кулі:

, звідки: .

Швидкість визначаємо за законом збереження імпульсу:

У проекціях на напрям закон збереження імпульсу запишеться так:

Звідси: .

Підставивши у формулу для , дістанемо: .

Перевіряємо одиницю вимірювання:

Виконуємо обчислення: м.

. .

Задача 9. Два тягарці масою 2 і 1 кг з’єднані ниткою і перекинуті через блок вагою 10 Н. Знайти прискорення, з яким рухаються тягарці, і натяг ниток, до яких вони підвішені. Блок вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.

Р озв’язання

За умовою задачі в русі беруть участь три тіла. Тягарці рухаються поступально. Блок обертається. Застосуємо для розв’язування задачі основні законі динаміки поступального й обертального руху і запишемо відповідно три рівняння руху.

Рух тягарця вниз відбувається під дією двох сил: сили ваги , напрямленою вниз, і натягу нитки , напрямленою вгору.

або у проекціях напрям руху:

Тягарець - рухається в гору з тим самим прискоренням під дією таких сил: сили ваги і сили натягу нитки .

Складемо рівняння руху цього тягарця:

або у проекціях на напрям руху:

Нитка буде натягнута по обидва боки блока по-різному, і різниця сил її натягів створюватиме момент, що обертає блок. Цей обертальний момент:

Відповідно до основного закону динаміки обертального руху цей момент сили пов'язаний с кутовим прискоренням тіла рівнянням.

де - момент інерції блока.

Оскільки тангенціальне прискорення точок поверхні блока дорівнює лінійному прискоренню тягарця, що рухаються, то кутове прискорення можна знайти зі співвідношення:

Підставивши у формулу основного закону динаміки обертального руху вираз для М, І та , дістанемо:

;

Розв’язуючи це рівняння разом із рівнянням руху тягарців, маємо:

Виконуємо обчислення:

;

Задача 10. Визначити лінійну швидкість центра кулі, що скотилась без ковзання з похилої площини висотою 1 м.

Розв’язання

Кінетична енергія кулі, що скотиться без ковзання,

де - кінетична енергія поступального руху; - швидкість центра кулі;

- кінетична енергія обертального руху кулі навколо осі, що проходить через центр інерції;

Задача 11. Визначити найбільшу густину жирного прямолінійного дроту діаметром 1,5 мм, який не змочується водою, при умові, що дріт буде триматися на воді.

Розв’язання. На дріт, що знаходиться в положенні рівноваги на поверхні води діють три сили: тяжіння ( ), Архімеда ( ) і сила, яка зумовлена поверхневим натягом води ( , де - додатковий тиск (Лапласа); - середній перетин дроту; - діаметр і довжина дроту). Векторна сума цих сил дорівнює нулю. Так як вони напрямлені по одній прямій, то можна скласти таке рівняння

Маса дроту дорівнює

де - густина і об’єм дроту.

Тиск, який чинить деформована поверхня води на дріт за рахунок поверхневого натягу дорівнює:

де - радіус кривизни поверхні води під дротом; , тому, що дріт прямий; - коефіцієнт поверхневого натягу для води.

Сила Архімеда дорівнює

де - густина води.

Найбільша густина дроту, після підстановки отриманих виразів і скорочення, дорівнюватиме

кг/м³.

Рис. 2.

Задача 12. Дві однакові плоско-паралельні пластини розміщені так, що між ними мається проміжок = 0,3 мм. На яку висоту підніметься рідина в проміжку, якщо опустити пластини нижніми гранями в посудину з гліцерином? Змочування вважати повним.

Розв’язання Додатковий тиск під вгнутій поверхні рідини складає

де - коефіцієнт поверхневого натягу гліцерину.

Так як поверхня циліндрична, то

де - кут змочування.

Тоді

Цей тиск може бути зрівноважений тиском стовпа рідини висотою :

звідкіля

мм.

Задача 13. В місті площею = 400 км² за = 10 хвилин під час дощу випало = 20 мм води. Підрахувати енергію та потужність тепловиділення від злиття краплин під час дощу, якщо краплі, які досягли поверхні Землі, мали діаметр D = 3 мм, а утворились вони з дрібних краплинок діаметром = 3·10^-3 мм. Визначити збільшення температури води в великих краплях у порівнянні з малими.