3.2. Внутренняя задача тепломассообмена

Внутренняя задача тепломассообмена предполагает, что сопротивление переносу сосредоточено внутри частицы и изменением концентрации во внешнем потоке можно пренебречь.

Исследование внутренней задачи тепло- и массообмена можно провести на примере обтекания осесимметричным потоком капли на основании уравнения конвективного переноса полагая, что значения компонентов вектора скорости известны.

.

Пусть в начальный момент времени концентрация растворенного в апле вещества постоянна по объему, тогда без ограничения общности краевые условия можно представить в виде

(3.18)

Такая задача рассмотрена только для капли, движущейся при Ре>>1, когда известны точные значения компонентов вектора скорости жидкости внутри капли. В предельном случае Ре0 массо- и теплоперенос описывается уравнением нестационарного молекулярного переноса, решение которого можно получить разделением переменных в уравнении Лапласа. Полученное Ньюменом выражение для средне концентрации вещества в частице имеет вид

.

Из формулы следует, что средняя концентрация вещества в капле уменьшается экспоненциально с течением времени (увеличение критерия F_o).

Выражение для средней концентрации вещества в капле имеет вид:

, (3.19)

где B_n, _n – численные коэффициенты.

При F_o ряд быстро сходится и можно ограничиться первым членом ряда. При F_o0 ряд сходится крайне медленно и при малых значениях F_o обычно используют численные методы решения (3.2) с краевыми условиями (3.1).

Найдем среднее значение коэффициента массоотдачи. За dt количество экстрагируемого вещества . Эту же величину потока асссы можно выразить как

.

Приравняв эти выражения, получим

.

Интегрируя это соотношение и вводя средний по времени коэффициент массоотдачи , получили

или .

Используя величину степени извлечения А, последнее выражение можно представить в виде

. (3.20)

Учитывая, что диффузионный критерий Фурье имеет вид и используя выражение (3.20), получили зависимость для среднего значения числа Шервуда

. (3.21)

3.3. Теплообмен в неподвижном плотном слое. (Задача Шумана)

Рассмотрим процесс нагрева неподвижного слоя, состоящего из термически тонких частиц, одномерным потоком газа, движущимся вдоль оси у, принимая следующие допущения: слой состоит из частиц одинакового размера; теплообмен между потоком и слоем определяется законом Ньютона; коэффициент _F одинаков по высоте и сечению слоя; теплофизические свойства частиц и газа не зависят от температуры; передача тепла в газе и в слое теплопроводностью отсутствует; поток газа равномерно распределен по сечению слоя. При принятых допущениях уравнения теплового баланса для элемента слоя объемом и протекающего через этот элемент газа будут иметь вид:

; (3.22)

, (3.23)

где Т_м, Т_г – температура слоя и протекающего через него газа; w_г – скорость газа в стесненном сечении, м/с; С_м,v, С_м,г – удельные объемные теплоемкости материала слоя и газа, дж/(м³ К).

Вводя обозначения

; ; ;

; ,

где - температура (газа или материала) в начальный момент времени t=0.

Представим исходную систему уравнений в виде

; (3.24)

. (3.25)

Краевые условия для рассматриваемой постановки задачи имеют вид

(3.26)

Решение систем уравнений (3.24)-(3.26) получено Шуманом и в наиболее удобной форме может быть представлено следующим соотношением:

(3.27)

(3.28)

где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента.

Решение Шумана можно использовать и для расчета нагрева (охлаждения) слоя, состоящего из кусков, обладающим термическим сопротивлением.

. (3.29)

Анализ уравнений (3.27), (3.28) показывает, что температуры слоя и газа меняются по высоте слоя и во времени и зависят от размера частиц, порозности слоя, теплофизических параметров и скорости движения газа.