Свойства уравнений Максвелла

1) Они линейные, т.е. содержат только первые производные полей по времени и координатам и первые степени j и . Из этого вытекает принцип суперпозиции.

2) Уравнения Максвелла являются релятивистскими: они выполняются во всех ИСО при любых скоростях движения зарядов (инвариантны относительно преобразований Лоренца). Вид уравнений при переходе из одной ИСО в другую не меняется. Но в разных ИСО разделение единого электромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющие будет различным.

П ример: в К-системе заряды покоятся, и существует только электрическое поле. В -системе заряды движутся, и существуют электрическое и магнитное поля.

3) Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей: это связано с существованием точечных электрических зарядов ( ) и отсутствием точечных «магнитных зарядов» ( ).

Но в вакууме уравнения приобретают симметричный вид:

, ,

, .

Левый винт Правый винт

Изменяющиеся со временем электрическое и магнитное поля взаимно порождают друг друга. Единственное отличие – в знаке производной.

4) Отсюда следует вывод о существовании нового физического явления:

Электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без зарядов и токов – за счет непрерывного взаимопревращения изменяющихся и .

Это и есть электромагнитные волны, распространяющиеся в пространстве, существование которых предсказал Максвелл.

§ 2. Плоские электромагнитные волны и их свойства

Рассмотрим однородную непроводящую ( ) нейтральную ( ) безграничную среду, в которой распространяются электромагнитные возмущения.

Четыре уравнения Максвелла с учетом двух материальных уравнений ( , ) сводятся к следующим уравнениям для Е и Н:

(1)

(2)

(3)

(4)

Ограничимся случаем, когда возмущение распространяется вдоль оси Х и напряженности Е и Н зависят только от х и t. Такое возмущение является плоской волной.

Перепишем уравнения (1) - (4) в координатной форме. Напомним, что

, .

Из (1) и (2) получаем:

(1а), (2а).

(3) и (4) – векторные уравнения. Каждое из них дает три уравнения для проекций на оси X, Y, Z:

( 3-Х) (4-X)

(3-Y) (4-Y)

(3-Z) (4-Z)

Из (1а) и (4-Х) мы делаем вывод, что Е_х не зависит ни от х, ни от t, т.е. является однородным полем. Аналогично Н_х. Однородные статичные поля не связаны с распространением возмущения, и их можно не учитывать.

Оставшиеся четыре уравнения распадаются на две независимые группы:

и

П ервая пара уравнений связывает друг с другом компоненты полей и , вторая пара – поля и . Вывод: пара полей и (или и ) является взаимопорождающей, при этом другая пара полей не возникает: , меняясь со временем, порождает , и наоборот. В простейшем случае может существовать только о дна пара полей – например, и . Волна при этом, как оговорено с самого начала, распространяется вдоль оси Х.

Вывод: электромагнитные волны поперечны:

направлению распространения.

Выпишем еще раз уравнения для пары и :

( 5)

(6)

Продифференцируем первое уравнение по х, а второе – по t:

, .

Полученные уравнения содержат одну и ту же производную . Выразив ее из каждого уравнения и приравняв значения друг другу, приходим к уравнению:

. (*)

Точно такому же уравнению удовлетворяет и магнитное поле .

Сравним уравнение (*) с известным вам из курса Механики волновым уравнением, описывающим распространение возмущения (волны) со скоростью v:

.

Вывод: скорость распространения электромагнитной волны .

Скорость в вакууме (обозначим ее «с») равна м/с.

Скорость в среде .

Решением волнового уравнения (*) являются любые функции вида – плоские волны, бегущие в положительном направлении оси Х (при знаке «минус» в аргументе) или в отрицательном направлении (при знаке «плюс»).

Такие же решения и для магнитного поля: .

Найдем связь между мгновенными значениями Е и Н в волне.

Пусть волна бежит в положительном направлении оси Х:

, . (7)

Уравнение (6) связывает производные и . Для волны (7) (штрихом мы обозначили производную от функции F по аргументу ), . Подставляем эти производные в (6) и получаем: , откуда следует, что . Значение же константы можно принять равной нулю, т.к. постоянные поля нас не интересуют. Итак, .

Сформулируем еще раз полученные выводы.

1. Электромагнитные волны являются поперечными:

2. ( ) образуют правую тройку векторов.

3. Скорость волн в среде , где м/с – скорость в вакууме.

4. В каждый момент модули Е и Н (Е и В) пропорциональны друг другу:

, или

5. Плотности электрической ( ) и магнитной ( ) энергии в волне одинаковы:

, .

Полная плотность энергии

.

Хотя мы пришли к этим выводам на примере плоской волны, они остаются верными для всех типов электромагнитных волн.

Частным, но наиболее важным случаем плоской волны является плоская гармоническая волна с круговой частотой :

,

, где – волновое число.

Э лектрический и магнитный векторы в волне изменяются синфазно: одновременно (в каждой точке) достигают максимума и обращаются в ноль.

Длина гармонической волны в вакууме

(где – частота колебаний в волне). В среде длина волны уменьшается в раз. Число называют показателем преломления среды.