Поле бесконечного круглого равномерно заряженного цилиндра
Пусть R – радиус цилиндра.
Его заряд будем характеризовать линейной
плотностью
:
это заряд, приходящийся на каждую единицу
длины образующей цилиндра. Значит, на
любой участок длины l
приходится заряд
.
Шаг 1. Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности начинаются на поверхности цилиндра и идут перпендикулярно его оси – как внутри, так и снаружи. Поле обладает осевой (или аксиальной) симметрией. Напряженность может зависеть только от расстояния r до оси.
Найдем сначала поле снаружи цилиндра.
Шаг 2. Выбираем цилиндрическую поверхность произвольного радиуса r > R, ось которой совпадает с осью заряженного цилиндра. Пусть длина этой уилингдрической поверхности равна l. Поток через торцы равен нулю, а через боковую поверхность
(1).
Шаг 3. Внутри поверхности находится заряд . По теореме Остроградского-Гаусса
(2).
Шаг 4. Сопоставляя выражения (1) и (2) для потока, получаем уравнение:
,
откуда
А какое поле внутри заряженного цилиндра?
В
ыбираем
цилиндрическую поверхность радиуса r
< R.
Соображения о симметрии остаются те
же самые, поэтому применимо выражение
(1) для потока. С другой стороны, заряд
внутри поверхности равен нулю, поэтому
и
.
Значит, внутри заряженного цилиндра
.
График зависимости напряженности Е от расстояния r до оси выглядит так:
Поле равномерно заряженной сферы радиуса r
Пусть полный заряд сферы равен q.
Шаг 1. Очевидно, поле сферы выглядит так:
(мы не знаем еще, есть ли поле внутри сферы, поэтому нарисовали линии пунктиром).
Шаг 2. Выбираем сферическую поверхность произвольного радиуса r > R, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток через эту поверхность
(1).
Шаг 3. По теореме Остроградского-Гаусса
(2).
Шаг 4. Сопоставляя выражения (1) и (2) для потока, получаем уравнение:
,
откуда
М
ы
видим, что поле снаружи от заряженной
сферы выглядит так, как если бы весь
заряд был расположен в центре сферы.
Внутри равномерно заряженной сферы (рассуждения такие же, как в предыдущем примере).
Поле равномерно заряженного по объёму шара радиуса r
Пусть полный заряд сферы равен q.
Заряд, приходящийся на единицу объема
(объемная плотность заряда)
.
Шаг 1. Как и в предыдущем примере, поле центрально-симметрично, т.е. во всех точках пространства направлено вдоль радиусов-векторов, а его модуль зависит только от расстояния r от центра.
Шаг 2. Поток через сферическую поверхность произвольного радиуса r, центр которой совпадает с центром заряженного шара,
(1).
Шаг 3. Найдем сначала поле снаружи от шара. Пусть r > R. Тогда заряд внутри поверхности равен q, а поток
(2).
Поэтому . Как и в предыдущем примере, поле снаружи оказывается таким же, как если бы весь заряд был расположен в центре:
.
Н
айдем
теперь поле внутри шара. Пусть r
< R. Тогда
заряд внутри поверхности равен
,
а поток
(2а).
Сопоставляя (1) и (2а), получаем уравнение:
,
откуда
.
Зависимость Е от r показана на графике:
Мы рассмотрели все основные типы случаев, когда с помощью теоремы Остроградского-Гаусса можно найти напряженность электрического поля.
Увеличить «ассортимент» можно с помощью принципа суперпозиции полей.
Примером могут служить, например, такие комбинации заряженных тел:
а) несколько концентрических заряженных сфер,
б) несколько коаксиальных заряженных длинных цилиндров;
и) несколько параллельных бесконечных заряженных плоскостей.
Еще один пример применения теоремы Остроградского-Гаусса:
Теорема о невозможности устойчивого равновесия заряда в электростатическом поле (теорема Ирншоу)
Любая равновесная конфигурация неподвижных точечных зарядов неустойчива, если на них не действуют никакие силы, кроме кулоновских.
Доказательство смотрите в книге «Электромагнетизм. Задачи и решения», задача 1.39.