Метод среднего арифметического

Метод среднего арифметического применяется при прямых измерениях, когда погрешность измерительного прибора меньше погрешности отсчета. Больше всего к истинному значению измеряемой ФВ является близким ее среднее арифметическое значение. Пусть имеем n прямых измерений ФВ х:

.

1. Определяется среднее арифметическое ВФ х:

(1)

Примечание. При конечном числе n величина называется выборочным средним или средним выборки.

2. Определяется абсолютна погрешность каждого измерения

2. Вычисляется средняя абсолютная погрешность

(2)

2. Вычисляется относительная погрешность

(3)

Если в процессе многократных измерений измерительный прибор дает одинаковые показания, то за максимальную абсолютную погрешность принимают погрешность измерительного прибора или цену деления шкалы прибора.

2. Записывается результат измерения

(4)

Статистический метод

Погрешности также подразделяются на систематические, случайные, промахи. Систематические погрешности и промахи можно свести до минимального значения, например к нулю. Случайные погрешности - это погрешности, которые в одинаковых условиях имеют разные значения. Случайные погрешности нельзя свести к нулю, можно лишь уменьшить их размер путем увеличения количества измерений в идентичных условиях. Случайные погрешности исследуются в теории вероятностей. Погрешности отсчета при съемке показов мер или измерительных приборов глазом человека также можно обрабатывать статистическим методом.

Закон нормального распределения случайных погрешностей и статистическая обработка при нормальном распределении результатов наблюдений

Пусть имеем n (100) измерений ФВ х. Вычислим среднее арифметическое значение ФВ х - и найдем абсолютные погрешности. Рассмотрим величины этих случайных погрешностей и разделим их на определенные интервалы, учитывая их знак. Построим гистограмму. Для этого по оси ОХ откладывают величины погрешностей, а по оси ОY количество погрешностей которые попадают в этот интервал.

Если количество измерений увеличивать ( ), а величину интервала уменьшать, то гистограмма будет приближаться к плавной кривой, имеющей форму кривой Гаусса (нормальное распределение Гаусса или распределение плотности вероятностей). Аналитический вид кривой Гаусса:

, (5)

где – плотность вероятности. Она позволяет определить вероятность dP появления случайной погрешности в интервале погрешностей d(Δx) по формуле:

,

а вероятность появления случайной погрешности в конечном интервале значений [Δx₁, Δx₂] будет равна

(6)

Δx - абсолютная случайная погрешность результата наблюдения, когда систематическая погрешность полностью исключена, параметр σ называется дисперсией и характеризует разброс значений случайной погрешности относительно нулевого значения.

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением (средней квадратической погрешностью). Параметр σ удобно использовать для оценки качества проведенных наблюдений. Так, если его значение взять в качестве границ случайной погрешности результата наблюдения, то по формуле (6) вероятность Р₁ того, что погрешность результата наблюдения находится в пределах [-σ, +σ], равна:

(7)

Аналогично можно получить вероятность появления погрешности результата наблюдения в пределах интервала [-2σ, +2σ] - она равна 0,95, а в пределах интервала [-3σ, +3σ] - 0,99. Это означает, что из серии наблюдений, количество которых принято за 100%, для 68% из них случайная погрешность не выйдет за пределы [-σ, +σ], в 95% - за пределы [-2σ, +2σ], а для 99% - за пределы [-3σ, +3σ]. То есть, параметр σ позволяет определить границы интервала случайной погрешности с некоторой вероятностью. Среднюю квадратическую погрешность называют еще стандартной погрешностью. Средняя квадратическая стандартная погрешность определяется по формуле

(8)

Формула (8) дает несколько заниженное значение дисперсии, поскольку отличается от истинного значения измеряемой величины, поэтому оценка средней квадратической (стандартной) погрешности проводится на основе опытных данных по формуле

(9)

Верхняя и нижняя границы интервала, покрывающего с заданной вероятностью погрешность измерения, называются доверительными границами погрешности, интервал - доверительным, а характеризируемая его вероятность - доверительной вероятностью. Границы доверительного интервала определяются по формуле

(10)

Для доверительного интервала 68% (для значений существуют таблицы).

Таким образом, результатом измерения ФВ является среднее арифметическое результатов наблюдений и доверительный интервал случайной погрешности. При конечном количестве наблюдений (измерений) распределение Гаусса применяется с определенной степенью приближения. В этом случае для определения границ доверительного интервала вместо формулы (10) в которой коэффициент зависит только от вероятности P, используется другая формула

(11)

- коэффициент Стьюдента, который зависит не только от вероятности Р, но и от количества наблюдений n в серии, его берут из таблицы:

P n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,999
2	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	636,6
3	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	31,6
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	12,9
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	8,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	6,9
7	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	6,0
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	5,4
9	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	5,0
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	4,8
∞	0,67	0,84	1,0	1,3	1,6	2,0	2,3	3,3

Средняя квадратичная погрешность результата при конечном количестве наблюдений (измерений) оценивается по формуле

(12)