Задача 2. Расчет характеристик сигналов при ацп и цап

Непрерывный первичный сигнал b(t) преобразуется в цифровой сигнал b_ц(t) аналого-цифровым преобразователем (АЦП) с равномерным квантованием. Восстановление непрерывного сигнала из цифрового производится цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП).

Задано:

• максимальная частота спектра первичного сигнала F_max;

• средняя мощность первичного сигнала P_b;

• квадрат коэффициента амплитуды первичного сигнала ;

• допустимое отношение сигнал/шум квантования ρ_{кв.доп дБ};

• отношение сигнал/погрешность на выходе ЦАП ρ_{вых дБ} на 3 дБ меньше ρ_{кв.доп дБ}.

Необходимо:

1. Составить и описать структурные схемы АЦП и ЦАП.

2. Определить такие параметры АЦП и ЦАП:

• частоту дискретизации f_д;

• число уровней квантования L;

• длину двоичного кода n;

• скорость цифрового сигнала на выходе АЦП R;

• отношение сигнал/шум квантования _кв при рассчитанных (выбранных) параметрах АЦП;

• допустимую вероятность ошибки символа (бита) р на входе ЦАП;

• рабочие параметры интерполирующего фильтра ЦАП;

• порядок интерполирующего фильтра ЦАП.

Указания к решению задачи 2

Задача 2 связана с двумя темами –“Теорема Котельникова” и “АЦП и ЦАП”. Сведения по этих темам можно найти в литературе [1, разд. 2.8; 2, лекция 5].

Схема АЦП должна содержать дискретизатор, квантователь и кодер, а схема ЦАП – декодер и интерполирующий ФНЧ. Иногда в литературе можно встретить схему АЦП, начинающуюся с ФНЧ, который называют предфильтром. Его назначение – уменьшить максимальную частоту спектра непрерывного сигнала, подлежащего преобразованию в цифровой сигнал, с целью уменьшения частоты дискретизации и скорости цифрового сигнала на выходе АЦП. Если задача ограничения спектра не ставится или ограничение спектра сигнала выполнено ранее, то предфильтр не используется. Понятно, что предфильтр вносит линейные искажения в преобразуемый непрерывный сигнал.

Расчет параметров АЦП

1. В соответствии с теоремой Котельникова частота дискретизации должна удовлетворять условию

f_д  2F_max. (1)

Частоту дискретизации выбирают из условия f_д = (2,2–2,4)F_max, при котором интерполирующий фильтр ЦАП относительно простой.

2. Определяют допустимое число уровней квантования, выразив предварительно заданное в децибелах ρ_{кв.доп дБ} в разах:

; (2)

. (3)

3. Длину двоичного кода АЦП выбирают как целое число, удовлетворяющее неравенству-равенству

n ≥ log₂L_доп. (4)

4. Определяют скорость цифрового сигнала на выходе АЦП

R = n f_д. (5)

5. Определяют число уровней квантования АЦП

L = 2ⁿ. (6)

6. Определяют отношение средних мощностей сигнала и шума квантования

ρ_кв = 3(L – 1)²/ . (7)

Полученное значение ρ_кв следует представить в децибелах:

ρ_{кв дБ} = 10lg ρ_кв, (8)

сравнить это значение с заданным ρ_кв.доп и сделать вывод об удовлетворении заданным требованиям.

Расчет параметров ЦАП

1. Определяют допустимую мощность шума на выходе ЦАП, вызванного ошибками в цифровом канале связи, . Поскольку мощность погрешности на выходе ЦАП есть сумма мощности шума, вызванного ошибками в цифровом канале связи, и мощности шума квантования, то

. (9)

Величина ρ_кв найдена выше при расчете АЦП. По условию задачи ρ_{вых дБ} на 3 дБ меньше ρ_{кв.доп дБ}. Для подстановки в формулу (9) величину ρ_{вых доп дБ} следует представить в разах по формуле (2).

2. Определяют допустимую вероятность ошибки символа р на входе ЦАП

, (10)

где b – шаг квантования, определяемый как,

. (11)

3. Требования к интерполирующему ФНЧ ЦАП формулируются следующим образом:

– граничная частота полосы пропускания F_пп = F_max с ослаблением 3 дБ;

– граничная частота полосы задерживания F_пз = f_д – F_max с ослаблением А(F_пз), не меньшим 15 дБ.

В качестве интерполирующего фильтра, как правило, используется фильтр Баттерворта. Определение порядка фильтра n (не путать с длиной кода АЦП!).

Нормированная АЧХ фильтра Баттерворта n-го порядка описывается выражением

H(f) = , (12)

Ослабление, обеспечиваемое фильтром Баттерворта на частоте F_пз,

. (13)

Необходимый порядок фильтра определяется путем решения равенства (13) относительно n

. (14)

Знак неравенства появляется, поскольку n – целое число. При расчете (14) положить А(F_пз) = 15 дБ.

Если значение n  6, то аналоговый фильтр Баттерворта относительно сложный, поэтому для уменьшения порядка фильтра следует применить фильтр Чебышева либо увеличить частоту дискретизации в АЦП.