2 Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1°. Находят определитель матрицы А.

2°. Находят алгебраические дополнения всех элементов а_ij матрицы А и записывают новую матрицу.

3⁰. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспо­нируют матрицу).

4°. Умножают полученную матрицу на 1/D.

52. Найти матрицу, обратную матрице

79

53. Найти матрицу, обратную матрице

Поскольку , матрица А является невырожденной и, значит можно найти матрицу А^-1.

2°. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матри­цы А:

Запишем новую матрицу:

3 . Транспонируем полученную матрицу:

4°. Умножив полученную матрицу на _, находим

Проверим полученный ответ. Имеем

80

Последовательно находим:

54—59. Найти матрицы, обратные заданной матрице А:

§ 4. Решение простейших матричных уравнений

• 1. Простейшие матричные уравнения и их решение

• 2. Решение системы линейных уравнений в матричной форме

1. Простейшие матричные уравнения и их решение

Пусть дана система уравнений

81

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц столбцов:

Тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:

Это равенство называется простейшим матричным уравне­нием.

Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матри­ца А — невырожденная : тогда существует обратная матрица А^-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем

Используя сочетательный закон умножения, перепишем это ра­венство в виде

Поскольку , находим

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1°. Найти обратную матрицу А^-1

2°. Найти произведение обратной матрицы А^-1 на матрицу-столбец свободных членов В, т. е. А^-1В.

3°. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

60. Решить матричное уравнение

Решение.1°. Будем искать обратную матрицу А^-1.

Найдем определитель матрицы А:

Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:

82

3°. Так как , то по определению равных матриц получим .

61. Решить матричное уравнение

83

и транспонируем ее:

Учитывая, что , запишем обратную матрицу:

2°. Имеем

62—65. Решить матричные уравнения:

2. Решение системы линейных уравнений в матричной форме

Так как систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матрич­ное уравнение.

66. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. Составим матричное уравнение , где

84

и решим его указанным способом. Находим

Итак, решение системы уравнений есть .

67—70. Решить матричным способом системы линейных уравне­ний:

§5. Решение линейных уравнений по формулам Крамера

• 1. Теорема Крамера

• 2. Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений

85

1. Теорема Крамера

Теорема. Система п уравнений с п неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Пусть дана система п линейных уравнений с п переменными

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А. а из свободных членов — матрицу-столбец В, т. е.

Определитель матрицы А обозначим Д и назовем определителем системы. Таким образом,

Пусть . Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при на столбец свободных членов, то получим п определителей (для п неизвестных)

Тогда формулы Крамера для решения системы п линейных урав­нений с п неизвестными запишутся так:

или короче

86

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

_1. и каждый определитель . Это имеет место

тогда, когда коэффициенты при неизвестных пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число . Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. и хотя бы один из определителей . Это имеет

то только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме Xi, пропорциональны. При этом получается система из про­тиворечивых уравнений, которая не имеет решений.