4.1.3. Элементы векторной алгебры

Основные понятия

1. Вектором с началом в точке А и концом в точке В называется направленный отрезок .

2. Длиной (модулем, абсолютной величиной) | | вектора называется длина направленного отрезка.

3. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым, а его длина равна нулю.

4. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным (ортом).

5. Два и более вектора называются коллинеарными (обозначение: || ), если они лежат на одной или параллельных прямых.

6. Два вектора и называются равными, если:

1) | |=| |, 2)  || , 3)   .

7. Из определения равенства двух векторов следует, что точка их приложения не играет никакой роли. Это означает, что векторы можно переносить в пространстве параллельно самим себе, приводя их начало в общую точку. По той же причине такие векторы можно обозначать одной буквой , и т. д.

8. Вектор называется противоположным вектору , если:

1) | |=| |, 2)  || , 3)   .

9. Вектор называется ортом вектора , если выполняются три условия:

1) | |=1,

2)  || ,

3)  , если  и , если  .

10. Векторы , и называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

11. Углом между двумя векторами, приведенных к общему началу называется угол, который не превосходит .

Линейные операции над векторами

1. Суммой векторов и называется вектор , идущий из начала первого вектора в конец второго вектора при условии, что начало второго вектора приложено к концу первого (рис. 5).

Рис. 5

Это правило называется правилом треугольника.

2. Свойства операции сложения:

1)  ,

2)  ,

3)  ,

4)  .

3. Первое свойство приводит к правилу параллелограмма сложения векторов: сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма, проведенной из общего начала (рис. 6).

Рис. 6

4. Разностью векторов и называется вектор , равный сумме вектора и , противоположного вектору , т. е.

.

Из определения видно, что этот вектор изображается второй диагональю параллелограмма, идущей из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого при условии, что оба вектора и приведены к общему началу (рис. 7).

Рис. 7

5. Произведением вектора на число  называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1)  ,

2)  || ,

3)   , если  > 0,  , если  < 0 и = , если  = 0.

6. Свойства операции умножения вектора на число:

1)  ,

2)  ,

3)  .

7. Множество векторов с тремя линейными операциями, удовлетворяющих свойствам п. 2 и п. 6, называется линейным (векторным) пространством. Обозначение: Rⁿ.

Базис векторов. Координаты вектора относительно базиса

1. Введенные линейные операции позволяют из чисел и векторов составлять выражения вида

 = ₁  + ₂  + … + _n ,

которые называются линейной комбинацией векторов , , …, с коэффициентами ₁, ₂, …, _n.

2. Система векторов , , …, называется линейно независимой, если равенство

₁  + ₂  + … + _n  =  ,

возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. В противном случае она называется линейно зависимой.

3. Базисом векторного пространства называется упорядоченная система векторов { } такая, что:

1) эта система линейно независима,

2) любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.

4. Число векторов в базисе называется размерностью пространства.

5. Базис называется ортонормированным, если базисные векторы являются ортами и ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Для трехмерного пространства обозначение: .

6. Если – базис трехмерного пространства, то для любого вектора этого пространства существует единственная тройка чисел х₁, х₂, х₃, таких, что

. (5)

Говорят, что вектор разложен по векторам базиса, а числа х₁, х₂, х₃ называются коэффициентами разложения.

7. Декартовыми координатами вектора в базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по базису. Обозначение: ={х₁; х₂; х₃}. Один и тот же вектор в двух различных базисах имеет разные декартовы координаты.

8. Рассмотрим векторное пространство R³ и пусть , – два различных базиса. По формуле (5) имеют место разложения , и . Эти равенства можно представить в виде матричного равенства: . Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .

9. Пусть произвольный вектор в базисе по формуле (5) имеет разложение и пусть в базисе имеет разложение . Связь между старыми координатами и новыми координатами выражается формулой:

,

где А – матрица перехода от первого базиса ко второму.

Действия над векторами в координатной форме

1. Если и , то координаты вектора равны

.

2. Два вектора и равны тогда и только тогда, когда

3. Сумма векторов и есть вектор

.

4. Разность векторов и есть вектор

.

5. Произведение вектора на число есть вектор

.

6. Длина вектора есть число

.

7. Единичный вектор для вектора есть вектор

.

8. Скалярное произведение векторов и есть число

,

вычисляемое по формуле:

.

9. Проекция вектора на вектор

есть число

.

Аналогично,

.

10. Угол между векторами

и вычисляется по формуле:

.

11. Условие ортогональности двух векторов: векторы и ортогональны ( ) тогда и только тогда, когда

или в координатной форме:

.

12. Условие коллинеарности двух векторов: векторы и коллинеарные ( ) тогда и только тогда, когда

или в координатной форме:

.

13. Направляющие косинусы вектора равны:

, ,

,

где , ,  – углы между вектором и координатными осями Ox, Oy и Oz соответственно.

14. Векторное произведение векторов и есть вектор , который удовлетворяет трем условиям:

1)  , где  – угол между векторами и ;

2)  и ;

3) направление вектора таково, что если смотреть с конца вектора , то поворот от к на угол  совершается против часовой стрелки (рис. 8)

и вычисляется по формуле:

.

15. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис. 8), т. е.

.

Площадь треугольника, построенного на этих векторах как на сторонах, равна

.

Рис. 8

16. Смешанное произведение векторов , и есть число , равное скалярному произведению вектора на вектор и вычисляемое по формуле:

.

17. Условие компланарности векторов: три вектора , и компланарны тогда и только тогда, когда

.

18. Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение трех векторов , взятое по модулю, численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (рис. 9), т. е.

.

Объем пирамиды, построенной на этих векторах, равен

.

Рис. 9