· Вираження векторного та мішаного добутків за допомогою декартових координат

Розглянемо два вектори, розкладені по ортах декартової системи координат:

Зважаючи на дистрибутивність векторного добутку та його асоціативність відносно скаляра, маємо

Використовуючи "таблицю векторного множення" декартових ортів (4.1), одержуємо вираз

(4.5)

з якого випливає, що

(4.6)

Безпосередньою перевіркою легко впевнитися, що векторний добуток (4.4) виражається за допомогою визначника, тобто

(4.7)

Скалярний добуток вектора і вектора с дорівнює, як відомо, сумі попарних добутків декартових координат векторів-співмножників, тому для мішаного добутку векторів справедливі формули

Зважаючи на (4.6) бачимо, що ці формули відрізняються від (4.5) лише заміною декартових ортів на координати вектора с. Зробивши таку саму заміну у виразі (4.7), доходимо висновку, що

(4.8)

· Подвійний векторний добуток і тотожність Лагранжа

4.24. Означення. Подвійним векторним добутком векторів a, b і c називають вектор типу та

За означенням векторного добутку 4.4, вектор ортогональний до вектора тобто, лежить у площині векторів a та b, і тому може бути представлений у вигляді їх лінійної комбінації. У подальшому доведемо, що коефіцієнти цієї лінійної комбінації до­рівнюють та а отже,

(4.9)

Вектор лежить у площині векторів b та с і може бути розкладений за цими векторами за формулою

(4.10)

Більшість студентів запам'ятовує формулу (4.10) "фонетично", як фразу "абц дорівнює бац мінус цаб".

У подальшому доведемо також справедливість тотожності Лагранжа

, (4.11)

яка часто використовується для виконання розрахунків, наприклад, в електродинаміці.

* * *

Проілюструємо важливість поняття подвійного векторного добутку простою, але дуже типовою задачею електродинаміки: електрон, імпульс p якого відомий, рухається в зовнішньому магнітному полі H; треба знайти повздовжню та поперечну щодо поля складову поля.

Для розв'язання задачі покладемо у співвідношенні (4.9) Одержимо

Звідси знаходимо вирази

Вектор спрямований уздовж магнітного поля, – перпендикулярно до нього.

§ 34. Добутки векторів у тривимірному просторі Евкліда · Означення векторного та мішаного добутків у e3

Усі тривимірні простори є ізоморфними (у перекладі з грецької – подібними за будовою), тому виникає цілком природне бажання – поширити уявлення про векторний добуток векторів з випадку геометричного простору на тривимірні простори Евкліда довільної природи. Щоб уможливити таке поширення, слід зробити лише один принциповий крок – ввести поняття орієнтованої трійки векторів у просторі, який не є геометричним. Наступні кроки логічно випливатимуть із цього першого. І дійсно, у негеометричному просторі не можна вдатися до "правила годинникової стрілки", оскільки важко уявити собі, наприклад, годинник у просторі поліномів степеня не вищого за третій. Тому зробимо таке: а) скористаємося з того, що в просторі Евкліда існує ортонормований базис (теорема 3.31); б) припишемо трійці ортів (а отже, і самому базису) праву орієнтацію; в) поширимо на негеометричні простори Евкліда твердження, сформульовані в зауваженні 4.2, тобто постулюємо, що орієнтованість базису змінюється на протилежну при переставленні двох ортів між собою та при інверсії напрямку одного з них (тоді при циклічному переставленні ортів орієнтованість базису не змінюється); г) зважимо на те, що вираз (4.7) встановлює взаємно-однозначну відповідність між векторними добутками геометричних векторів та їх координатами в правому базисі; д) пригадаємо, що орієнтованість трійки геометричних векторів легко визначається знаком їх мішаного добутку (властивість 4.15), тобто знаком детермінанта у виразі (4.8); е) поширимо вирази (4.7) та (4.8) на випадок негеометричних просторів.

Отже, почнемо виконувати накреслену програму. Розглянемо розклади векторів по ортах правого ортонормованого базису¹:

4.25. Означення. Векторним добутком векторів х та у у тривимірному просторі Евкліда називають вектор що визначається за координатами векторів-співмножників у правому ортонормованому базисі згідно із формулою

(4.12)

4.26. Означення. Мішаним добутком векторів х, у та z у просторі називають скаляр що визначається формулою

(4.13)

4.27. Зауваження. Означення 4.25 та 4.26 застосовні і в окремому випадку геометричних векторів.

У наступному параграфі доведемо, що означений мішаний добуток не змінюється при зміні базису, у якому розкладені вектори-співмножники. Тобто називають правоорієнтованою (правою) якщо і лівоорієнтованою (лівою) – якщо

4.29. Зауваження. Для векторів, про які йдеться в попередньому означенні, Це означає, що рядки детермінанта (4.13) лінійно незалежні, тому лінійно незалежні й вектори х, у та z.