Тема 1. Множини

1.1.Основні поняття

Визначення 1.1. Множиною називається сукупність яких-небудь об'єктів, що володіють загальним для всіх характеристичною властивістю. Це визначення не можна вважати строгим, тому що поняття множини є вихідним поняттям математики й не може бути визначене через інші математичні об'єкти. Один із засновників теорії множин Г. Кантор визначав множину так: "Множина є багато чого, мислиме як ціле".

Приклад 1.1.

Наступні сукупності об'єктів є множинами: множина дерев у лісі, множина цілих чисел, множина корінь рівняння e^xsinx = 0.5.

Усяка множина складається з елементів. Множини позначають більшими буквами, наприклад А. В, C, а елементи – маленькими буквами, наприклад, а, b, c.

Множина і його елементи позначаються в такий спосіб:

А = {a₁, a₂, a₃} – множина, що складається із трьох елементів;

А = {a₁, a₂, …} – множина, що складається з нескінченного числа елементів.

Множина може складатися з елементів, які самі є множинами. Потрібно розрізняти елемент a і множина, що складається з єдиного елемента a.

Приклад 1.2.

Множина А = {1, 2} складається із двох елементів 1, 2; але множина {А} складається з одного елемента А.

Якщо елемент a належить множині А, це записується в такий спосіб:

a  А. Якщо елемент a не належить множині А, те записують так: a  А.

Приклад 1.3.

Нехай А₁ – множина простих чисел, А₂ – множина цілих чисел, a = 4. Тоді

a  А₂, a  А₁.

Якщо всі елементи множини А є елементами множини В и навпаки, тобто множини А и В збігаються, то говорять, що А = В.

Если кожен елемент множини А є елементом множини В, говорять, що множина А є підмножиною множини В, і записують А  В або В  А. Відзначимо, що по визначенню сама множина А є своєю підмножиною, тобто А  А.

Якщо А  В і В  А, то по раніше уведеному визначенню А = В.

Якщо А  В і А  В, то А є власна підмножина В, А  В. Якщо А не є власною підмножиною В, те записують А  В.

Приклад 1.4.

Нехай А – множина парних чисел, В – множину цілих чисел, К – множину непарних чисел. Тоді

А  В, К  В, А  К, В  А.

Не потрібно змішувати відношення приналежності () і відношення включення ().

Приклад 1.5.

Нехай А = {2} – множина, що складається з одного елемента, В = {{2}, {4}} – множину, що складається із двох елементів, кожне з яких є одноелементною множиною. Тоді мають місце наступні співвідношення:

2 ( {2};

{2} ( {{2}, {4}};

2 ( {{2}, {4}}.

Множина, що не містить жодного елемента, називається порожньою множиною й позначається . Прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини,   А, де А – будь-яка множина. Таким чином, усяка множина містить як свої підмножини порожня множина й саме себе.

Приклад 1.6.

Множина коренів рівняння sinx = 2 є порожнім.

Множина всіх підмножин даної множини А називається множиною-ступенем і позначається P(A). Множина P(A) складається з 2ⁿ елементів (довести самостійно).

Приклад 1.7.

Нехай множина А = {1, 2} складається із двох елементів 1, 2. Тоді множина P(A) містить у собі порожня множина , дві одноелементних множини {1} й {2} і сама множина А = {1, 2}, тобто

P(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}}.

Ми бачимо, що множина P(A) складається із чотирьох елементів (4 = 2²).

Існують наступні способи Задача множин.

1. Перерахуванням елементів множини. Наприклад:

A = {1, 3, 5, 7, 9} – кінцева множина;

B = {1, 2, …, n, …} – нескінченна множина.

2. Вказівкою властивостей елементів множини. Для цього способу користуються наступним форматом запису: A = {aвказівка властивості елементів}. Тут a є елементом множини A, a  А. Наприклад:

A = {a a – просте число} – множина простих чисел;

B = {b b² – 1 = 0, b – дійсне число} – множина, що складається із двох елементів, B = {– 1, 1};

Z = {x  = 1}– множина, що складається з одного числа, x = 0.