Степеневі ряди

7.1. Означення степеневого ряду та його збіжності

Ряд , де – функції, які визначені та неперервні в деякому інтервалі, називаються функціональним рядом.

Функціональний ряд називається збіжним у точці , якщо числовий ряд збігається.

Сукупність точок збіжності функціонального ряду становить область його збіжності.

Ряд , де – числа, називається степеневим рядом.

Степеневий ряд називається збіжним у точці , якщо збігається ряд , та абсолютно збіжним у точці , якщо збігається ряд .

Якщо степеневий ряд збігається абсолютно, то він збігається. Множина точок абсолютної збіжності ряду становить множину абсолютної збіжності ряду , а множина точок збіжності ряду становить множину збіжності ряду та с .

Якщо існує границя (скінченна або нескінченна) , то її називають радіусом збіжності степеневого ряду. Степеневий ряд збігається абсолютно в інтервалі та розбігається при . У точках ряд може збігатись або розбігатись в залежності від вигляду ряду.

Задача 7.1. Визначити радіус та інтервал збіжності степеневого ряду .

Розв’язання. Для визначення абсолютної збіжності цього ряду скористаємось ознакою Даламбера.

Маємо , та , тоді .

Отже радіус збіжності , а інтервал абсолютної збіжності , де . Розглянемо ряд при та при , тобто на межі інтервалу абсолютної збіжності. Якщо , то ряд умовно збігається. Якщо , то ряд є гармонічним рядом, який розбігається.

Отже, ряд, який розглядається, а саме ряд , абсолютно збігається на інтервалі , умовно збігається при та розбігається при .

Виходячи з того, що степеневий ряд у межах інтервалу його збіжності можна почленно диферінцювати n разів (а також інтегрувати), будь-яка функція може бути подана у вигляді степеневого ряду за степенями . Ряд

,

де − коефіцієнти ряду,

називається рядом Тейлора.

Якщо , то ряд

називається рядом Маклорена.

Необхідною і достатньою умовою подання функції в степеневі ряди Тейлора та Маклорена є , де – залишковий член ряду.

Ряди Тейлора та Маклорена дозволяють отримати наближені розрахунки значень функції в точках відповідно та .

Корисно при практичних випробуваннях рядів Маклорена користуватись відомими їх виразами для таких елементарних функцій:

; ; ; ; ; ;

Ч а с т и н а 8

Ряди фур’є

8.1. Означення ряду Фур’є Функціональний ряд, який має вигляд

,

де та – коефіцієнти, називається тригонометричним рядом. Якщо цей ряд збігається, то його сума є періодичною функцією з періодом , оскільки та є періодичними функціями з періодом . Це означає, що періодична функція може бути подана тригонометричним рядом.

Тригонометричний ряд, який подає періодичну функцію з періодом (інтервал періодичності ) та має вигляд

,

де ; ; , називається рядом Фур’є.

8.2. Подання періодичної функції у вигляді ряду Фур’є

Якщо розглядається періодична функція з будь-яким періодом , то ряд Фур’є має вигляд

,

де ; ; .

Якщо функція f(x) парна тобто f(x)= f(–x), а графік функції має симетрію відносно осі ординат, то

; ;

і відповідний ряд Фур’є містить тільки косинуси.

Якщо функція f(x) непарна тобто f(x)= – f(–x), а графік функції має симетрію відносно початку координат, то

; ; .

Задача 8.1. Розвинути в ряд Фур’є функцію з періодом 2l на інтервалі (–l, l).

Розв’язання. Задана функція є парною, тому

;

=

Ряд Фур’є для функції при її розвиненні з періодом 2l на інтервалі (–l, l) має вигляд