2. Спосіб розв’язання однорідного звичайного диференціального рівняння першого порядку

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо функція є однорідною.

Функція є однорідною n-го виміру відносно х та у, якщо , диференціальне рівняння є однорідним відносно х та у, якщо є однорідною функцією нульового виміру, а це означає, що функція може бути подана як функція однієї змінної, тобто .

Спосіб розв’язання однорідного звичайного диференціального рівняння першого порядку полягає в тому, що заміна змінної , а тоді , приводить однорідне диференціальне рівняння до вигляду рівняння, яке допускає відокремлення змінних.

Задача 9.4. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Задане рівняння подають у вигляді

.

Переконаємось в тому, що функція є однорідною нульового виміру.

Маємо

.

Тоді вводимо заміну змінної .

Маємо

;

;

;

де .

Задача 9.5. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Переконаємось в тому, що дане рівняння є однорідним. Маємо

Тоді

та

;

.

Після відокремлення змінних маємо

.

2. Спосіб розв’язання лінійного звичайного диференціального рівняння першого порядку

Рівняння , де Р(х) та Q(х) є функціями змінної х, лінійне відносно функції у(х) та її похідної, називається лінійним звичайним диференціальним рівнянням першого порядку.

Спосіб розв’язання такого диференціального рівняння полягає в тому, що заміною функції воно зводиться до розгляду двох рівнянь, які допускають відокремлення змінних.

Рівняння називається рівнянням Бернуллі, розв’язок якого досягається таким же чином, що й лінійні диференціальні рівняння.

Задача 9.6. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Виходячи з запису лінійного диференціального рівняння в загальному вигляді

,

приходимо до висновку, що диференціальне рівняння, запропоноване до розв’язання, є лінійним. Тому вводимо до розгляду

.

Тоді

.

Будемо мати

;

.

Розглянемо розв’язання рівняння .

Маємо

; ; .

Розглянемо розв’язання другого рівняння

; ; ;

.

Отже розв’язання заданого лінійного диференціального рівняння має вигляд

.

Задача 9.7. Знайти частковий інтеграл рівняння

за умови .

Розв’язання. Після перетворення будемо мати

,

що в загальному вигляді є , де слід розглядати х як функцію від у.

Тому вводимо до розгляду , тоді

.

Маємо

або

.

Розглянемо рівняння

та його розв’язання, тобто

,

а також рівняння

та його розв’язання, а саме

;

; ,

де

Тоді

та

.

Для розв’язання задачі Коші визначимо сталу.

Якщо та , то . Тоді .

9.3. Способи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків, які допускають пониження порядку

Зміст різних способів розв’язання диференціальних рівнянь вищих порядків, які допускають пониження порядку, пов’язаний з тим чи іншим типом таких рівнянь. Розглянемо такі рівняння.

1. Рівняння n-го порядку , де функція не містить функції та її похідних будь-якого порядку. Спосіб розв’язання таких рівнянь полягає в послідовному інтегруванні, визначенні на кожному кроці сталих та врахуванні їх при подальшому визначенні інтеграла.

Задача 9.8. Визначити інтеграл рівняння .

Розв’язання. Установити, що задане рівняння відноситься до типу (або запис ).

Домножимо ліву та праву частину на dx та інтегруємо.

Маємо

; ;

; .

2. Рівняння другого порядку , де відсутня функція .

Спосіб розв’язання такого рівняння полягає в тому, що вводиться до розгляду змінна , а тоді будемо мати .

Задача 9.9. Визначити інтеграл рівняння .

Ров’язання. Установити, що задане рівняння відповідає .

У відповідності до зазначеного вище способу їх розв’язання маємо

,

а тоді

.

Це рівняння є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку відносно функції Р(х). Тоді

; ;

;

,

та

Визначимо функцію Р(х) . Маємо .

Тоді

;

.

3. Рівняння другого порядку , де не міститься змінна х.

Спосіб розв’язання цього рівняння полягає в тому, що вводиться до розгляду функція, яка залежить від змінної у, тобто . Тоді .

Задача 9.10. Визначити інтеграл рівняння .

Розв’язання. Установити, що задане рівняння відповідає типу .

Тоді

; ;

;

; ; ;

.

Отже,

;

.