9.2. О дискретном и непрерывном спектрах. Проблема собственных значений.
Неопределенность значения (измерения) динамической переменной (наблюдаемой), иначе называемая флуктуацией ее статистического распределения, определяется как среднеквадратическое отклонение ∆А, т.е.
(6)
Говорят,
что динамическая переменная
принимает значение
достоверно, если
.
(7)
Мы хотим выяснить, какие требования на накладывает условие (7). Для этого нам потребуется неравенство Шварца.
Лемма (неравенство Шварца).
Пусть
H
- гильбертово пространство со скалярным
произведением
.
Тогда
,
(8)
причем
знак равенства имеет место тогда и
только тогда, когда
и 𝜓
пропорциональны.
Предложение 1. Пусть динамическая переменная - физическая величина (см. п. 9.1), а А - сопоставляемый ей по постулату (а) линейный эрмитов оператор, причем
.
(9)
Пусть множество
не пустое.
(10)
Тогда
принимает какое-то значение
достоверно тогда и только тогда, когда
,
а динамическое состояние квантовой
системы представляется собственной
функцией
этого
собственного числа
.
Доказательство.
Мы
должны показать, что условие (7) при
принятых предположениях эквивалентно
условию, что динамическое состояние
определяется волновой функцией
такой,
что
.
(11)
Применяя
(2) к
в (7) (см. (6)), получаем
.
(12)
Так как согласно (4)
,
(13)
то переписываем (12) в виде
(14)
и
из леммы получаем, что это равенство
выполняется для таких и только таких
,
которые удовлетворяют (11). Остается
заметить, что из (2) следует
.
Что
и требовалось.
Отметим,
в частности, что если
- энергия, то есть
(H
имеет смысл энергии, если не зависит
явно от t),
то сопоставляемый ей линейный оператор
при некоторых ограничениях на пространство
волновых функций (см. замечание в конце
п. 8.2) является эрмитовым. Поэтому мы
можем использовать (при условии (9)) в
этом случае доказанное предложение 1,
и оно приводит нас к задаче на собственные
значения для оператора H,
то есть к стационарному уравнению
Шредингера, которым мы долго занимались,
начиная с п. 6.6. В п. 6.6 мы пришли к
стационарному уравнению, опираясь на
соотношение Эйнштейна
(исходя из этого соотношения, мы сочли
естественным искать решения с постоянной
частотой, что вполне оправдалось). Теперь
мы видим, что, опираясь на введенный
формализм (постулаты), мы приходим к
аналогичным задачам на собственные
значения для общих динамических
переменных (а не только энергии).
Отметим, с другой стороны, что предложение 1 все же не всегда применимо (отнюдь не всегда!).
Предложение
2. Условия
предложения 1 не выполняются для
динамических переменных
и
,
то есть для операторов умножения на
и дифференциальных операторов
.
Доказательство.
Ради простоты рассмотрим случай одного
измерения. Задача на собственные значения
для q
приводит к равенству
,
то есть (
.
Это означает, что собственная функция
должна
быть равна нулю всюду, кроме точки
.
Но такой функции - решения уравнения
Шредингера в
не существует. Аналогично для задачи
на собственные значения для
получаем:
.
Решение этого уравнения
не принадлежит
.
Что и требовалось.
Построение общей теории в квантовой механике в рамках условий предложения 1 оказывается возможным для задач с дискретным спектром, а для задач, спектр которых имеет непрерывную часть, теория оказывается сложнее. В этом случае также рассматривают задачу на собственные значения, но в классах функций более широких, чем (в классе функций хотя и ограниченных, но, быть может, имеющих бесконечную норму, или в классе обобщенных функций и т.п.). При этом приходится использовать более богатый математический аппарат (собственный дифференциал, обобщенные функции, разложение единицы в теории операторов и т.п.).
Мы ограничимся рассмотрением общей теории задач с дискретным спектром, а для (необязательного, но желательного) ознакомления с общей теорией задач с непрерывным спектром (частную теорию - для одномерных задач как с дискретным, так и с непрерывным спектром, мы рассмотрели в п. 7) рекомендуется книга И. фон Неймана "Математические основы квантовой механики" (строгое изложение) или раздел III главы V, т. 1 "Квантовой механики" Альберта Мессиа (нестрогое изложение).