11. Случайные события и их вероятности

Понятие вероятности события определяется для массовых явлений или, точнее, для однородных массовых операций. Однородная массовая операция состоит из многократного повторения подобных между собой единичных операций, или, как говорят, испытаний. Каждое отдельное испытание заключается в том, что создается определенный комплекс условий, существенных для данной массовой операции. В принципе должно быть возможным воспроизводить эту совокупность условий неограниченное число раз.

Пример 11.1. При бросании игральной кости "наудачу" существенным условием является только то, что кость бросается на стол, а все остальные обстоятельства (начальная скорость, давление и температура воздуха, окраска стола и т. д.) в расчет не принимаются.

Пример 11.2. Стрелок многократно стреляет в определенную мишень с данного расстояния из положения "стоя"; каждый отдельный выстрел является испытанием в массовой операции стрельбы в данных условиях. Если же стрелку разрешено при разных выстрелах менять положение ("стоя", "лежа", "с колена"), то предыдущие условия существенно изменяются, и следует говорить о массовой операции стрельбы с данного расстояния.

Возможные результаты единичной операции, или испытания S, называются случайными событиями.

Определение. Случайное событие - это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании S. Вместо "произойти" говорят также "наступить", "появиться", "иметь место".

Так, при бросании игральной кости случайными событиями являются: выпадение данного числа очков, выпадение нечетного числа очков, выпадение числа очков, не большего трех, и т. п.

При стрельбе случайным событием является попадание в цель (стрелок может как попасть в цель, так и промахнуться), противоположным ему случайным событием является промах. Из этого примера хорошо видно, что понятие случайного события в теории вероятностей не следует понимать в житейском смысле: "это чистая случайность", так как для хорошего стрелка попадание в цель будет скорее правилом, а не случайностью, понимаемой в обыденном смысле.

Пусть при некотором числе n испытаний событие A наступило m раз, т. е. m результатов единичной операции оказались "удачными", в том смысле, что интересующее нас событие A осуществилось, и n-m результатов оказались "неудачными" - событие A не произошло.

Определение. Вероятностью события A (Р(А)) при проведении некоторого испытания называют отношения числа «удачных» исходов (в результате которых наступает событие А) к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.

Классическая вероятностная схема

Для нахождения Р(А) (вероятности события А) (при проведении некоторого испытания следует:

1. найти число n всех возможных исходов данного опыта;

2. принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;

3. найти количество m тех исходов опыта, в которых наступает событие А;

4. найти частное m/ n ; оно и будет равно вероятности события А.

Пример 11.3. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) 4; б) 5; в) чётное число очков; г) число очков, большее 4; д) число очков, не кратное трём.

Решение. Всего имеется n =6 возможных исходов: выпадение грани куба с числом очков, равным 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Мы считаем, что ни один из них не имеет никаких преимуществ перед другими, т. Е. принимаем предположение о равновероятности этих исходов.

а) Ровно в одном из исходов произойдёт интересующее нас событие А – выпадение числа 4. Значит m = 1 и Р(А)= m/ n=1/6.

б) Решение и ответ аналогично а)

в) Интересующее нас событие В - выпадение чётного числа очков, произойдёт ровно в трёх случаях, когда выпадет число очков 2, 4 или 6. Значит,

m = 3 и Р(В)= m/ n=3/6=1/2.

г) Интересующее нас событие С - выпадение числа очков, большего 4, произойдёт ровно в двух случаях, когда выпадет число очков 5 или 6. Значит,

m = 2 и Р(В)= m/ n=2/6=1/3.

д) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4, 5) не кратны трём, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие наступает ровно в четырёх из шести возможных и равновероятных между собой исходах опыта. Поэтому в ответе получается 4/6=2/3.

Пример 11.4. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1 — белый. Какова вероятность того, что взятый наудачу шар цветной?

Решение. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Интересующее нас событие А произойдёт ровно в пяти случаях из шести возможных. Значит,

m = 5 и Р(В)= m/ n=5/6.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m= n, следовательно,

Р(А)= m/ n= n / n =1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m= 0, следовательно,

Р(А)= m/ n= 0 / n =0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m/ n < 1, следовательно, 0 < Р(А)< 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству , 0 ≤ Р(А)≤1,

Пример 11.5. В ящике находится a белых и b черных шаров. Из ящика наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

Решение. Опыт состоит в вынимании одного шара из ящика. Общее число равновозможных исходов данного опыта - это общее число шаров в ящике: n=a+b. Событие C состоит в том, что вынутый шар - белый. Так как в ящике находится a белых шаров, то число исходов, благоприятствующих событию C, равно a: m=a. Найдем вероятность события C: P(C)=m/n=a/(a+b).