2.4 Двійково - десяткові числа

З метою зручності перетворення війкові числа представляють десятковими або шістнадцятковими. Але двійково - десяткове перетворення - операція не проста. В калькуляторах, магістралях і числових приладах, коли на доступних користувачу виходах і входах широко розповсюджені десяткові числа, для їх представлення використовують спеціальний двійково – десятковий код (ДДК). В табл.2.9 наведено декілька десяткових чисел і відповідних їм двійково – десяткових еквівалентів (система 8421). Цим визначається вага позицій кожного із чотирьох біт ДДК (використовують інші ДДК, наприклад 5421 і плюс 3).

Табл. 2.9 Двійково – десятковий код 8421

Двійкові	Двійково – десяткові числа
	8	4	2	1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1	0 0 0 0 1 1 1 1 0 0	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Запишемо десяткове число 3691 в ДДК 8421. Кожна десяткова цифра перетворюється прямо в свій двійково – десяткових еквівалент із 4 біт, і перетворення дають 3691₁₉ = 0011 0110 1001 0001_ДДК:

Десяткове число 3 6 9 1

Двійково – десяткове число 0011 0110 1001 0001

Перетворимо тепер двійково – десяткове число 1000 0000 0111 0010 в його десятковий еквівалент. Кожна група із 4 біт прямо перетворюється в його десятковий еквівалент, і тоді отримуємо 1000 0000 0111 0010_ДДК = 8072₁₀:

Двійково – десяткове число 1000 0000 0111 0010

Десяткове число 8 0 7 2

Мікропроцесори додають війкові числа, але вони мають команди для перетворення результату в двійково – десятковий запис. Отримані двійково – десяткові числа легко потім представити в десятковому записі, використовуючи вище описані прості процедури.

Вправи:

21. Запис ДДК є скороченням _________ _________ _________.

22. Найбільш загальним записом двійково – десяткового коду є ДДК__(5421,8421).

23. Записати наступні десяткові числа в ДДК 8421:

а) 39₁₀; б) 65₁₀; в) 40₁₀; г) 17₁₀; д) 82₁₀; е) 99₁₀

24. Записати наступні двійково – десяткові числа в десятковому коді :

а) 1000 0000_ДДК; б) 0000 0001_ДДК; в) 1001 0010_ДДК; г) 0111 0110_ДДК; д) 0100 0011_ДДК; е) 0101 0101_ДДК.

2.5 Двійкова арифметика

Додавання, віднімання або множення двійкових виконуються так, як і в арифметиці десяткових чисел.

На рис. 2.4,а представлено прості правила двійкового додавання. Дла перших (зліва) правила очевидні, третє показує, що 1+1=10, тобто найбільш значуща 1 переноситься в ближній старший розряд. Четверте правило, наприкінці показує, що 1+1+1=11. В цьому випадку перший, другий доданки і перенос із молодшого розряду – всі 1. Результатом є сума 1 з переносом 1.

1 1 1 Запам’ятовування із меншої

1-й доданок 0 0 1 +1 позиції

2-й доданок +0 +1 +1 +1 а)

Сума 0 1 10 11

Перенос в наступну старшу позицію

111 1 Переноси 11

1-й доданок 00111011 59

2-й доданок +00101010 +42 б)

Сума 01100101₂ 101₁₀

Рис.2.4 Двійкове додавання а) – правила; б) – приклад.

Додамо двійкові числа 00111011 і 00101010 ( операцію показано на рис.2.4, б). Для більшої ясності дії з десятковими еквівалентами чисел показано на рисунку справа. Сумою двох чисел 00111011 і 00101010 є 01100101₂.

На рис.2.5, наведено правила війкового віднімання. Перші три аналогічні десятковому відніманню . Останнє вимагає позики із попереднього розряду ( в цьому випадку вага 2). Віднімаючи 1 від двійкового числа 10 маємо різницю 1.

Віднімемо двійкове число 00111001 від 01010101. Цей приклад наведено на рис.2.5, б. Розряди ваги 1,2 і 4 цього війкового віднімання прості для виконання і відносяться до перших трьох правил на рис.2.5,а. В стовпчику ваги 8 має місце віднімання 1 із 0. Тоді 1 позичається із стовпчика вагою 16.

0 10

10 10

Зменшене 0 1 1 10 01010101 85

Від’ємник -0 -0 -1 -1 а) -00111001 -57 б)

Різниця 0 1 0 1 00011100₂ 28₁₀

Рис.2.5 Двійкове віднімання а) – правила; б) - приклад.

Одиниця віднімається із 10₂, що дає різницю 1 відповідно четвертому правилу на рис.2.5,а. Після цієї позики в стовпчику ваги 16 має місце віднімання 1 із нового віднімаємо 0. Відповідно четвертому правилу 1 повина бути позичена із наступної позиції ( стовбпчик ваги 32), але в стобчику 32 маємо 0; тому стовбчик 32 повинен зробити позику із стовбчика вагою 64, що і втконано. На закінчення стовбчик 16 виконує позику із стовбчика 32, зменшуюче в стовбчику 16 стає 10₂ , віднімаюче 1, різниця 1. В стовбчику 32 маємо 1-1=0, в стовбчику 64 0-0=0, в стовбчику 128 0-0=0. Таким чином, рис.2.5, ілюструє операцію віднімання 00111001₂ із 01010101₂ ( зправа цю задачу вирішено в десятковому записі.

Наведемо правила двійкового множення:

1 2 3 4

Множене 0 1 0 1

Множник *0 *0 *1 *1

Добуток 0 0 0 1

Два перших правила не потребують ніяких пояснень. В двох наступних множником є 1, множене стає результатом і являє собою добуток. Коли множник 0, добуток завжди 0.

Виконаємо множення 1101 на 101. Як і в випадку множення десяткових чисел, множене спочатку множиться на число, що стоїть в молодшому розряді ( в випадку, що розглядається – біт в стовбчику ваги 1).

Множене 1101 13

Множник *101 *5

1-й частковий добуток 1101 65₁₀

2-й частковий добуток 0000

3-й частковий добуток 1101

1000001₂

Оскільки біт множника в розряді ваги 1 є 1, множене копіюється і складає перший частковий добуток. Другим бітом множника є 0, тоді другим частковим добутком є 0000 ( відмітимо, що його зсунуто на одну позицію вліво). Бітом розряду ваги 4 множника є 1, тоді для отримання третього часткового добутку знову йде копіювання множеного ( відмітимо, що копіювання завершується новим зсувом на одну позицію вліво). Після цього виконуємо додавання трьох часткових добутків, що дає результат 1000001₂ . Отриманий результат 1101₂*101₂=1000001₂ відповідає добутку десяткових чисел 13₁₀*5₁₀=65₁₀.

Вправи:

25. Виконати наступні додавання двійкових чисел:

а) 1010 б) 1101 в) 0101 1011 г) 0011 1111

+0101 +0101 +0000 1111 +0001 1111

26. Виконати наступні віднімання двійкових чисел:

а) 1110 б) 1010 в) 0110 0110 г) 0111 1000

-1000 -0101 - 0001 1010 -0011 1111

27. Перше число при множенні називається ______, друге – множник, а результат складає _______.

28. Виконати наступні множення двійкових чисел:

а) 1001 б) 1101 в) 1111 г) 1110

* 11 *1001 * 101 *1110