Построение плоскости

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Пусть даны две плоскости:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (1)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (2)

φ- угол между этими плоскостями, равный углу между нормальными векторами этих плоскостей (A₁,B₁,C₁) и (A₂,B₂,C₂) и может быть найден средствами векторной алгебры:

Если плоскости (1) и (2) перпендикулярны, то cosφ=0, т.е.

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 - условие перпендикулярности плоскостей.

Если плоскости (1) и (2) параллельны, то || => - условие параллельности плоскостей.

Расстояние от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax+By+Cz+D=0

Расстояние (d) находится по формуле:

Примеры решения задач.

1. Построить плоскости:

1. 3x+6y-4z=12

2. x+y-2=0

3. x-y=0

4. x-3=0

5. x-y+z=0

Рис. 22

2)

Рис.23

3)

Рис.24

4)

Рис.25

Плоскость проходит через начало координат и оставляет следы и в координатных плоскостях соответственно XOY и YOZ.(Рис. 26)

Рис.26

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(2,3-1), M₂(1,5,3) и перпендикулярной плоскости

Решение. Векторы и нормальный вектор компланарны. Поэтому . Из этого условия получаем уравнение искомой плоскости

, или

7. Найти угол между плоскостями

Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и и находится по формуле

8. Заданы плоскости

Убедиться, что плоскости параллельны и найти расстояние между ними.

Решение. - плоскости параллельны

Выберем на первой плоскости произвольную точку, координаты которой удовлетворяли бы уравнению плоскости, например M₁(0,0,4). Найдем расстояние от точки до второй плоскости по формуле

4. Прямая линия в пространстве.

Прямую в пространстве можно задавать двумя способами:

1 Способ.

На прямой задана точка M₀(x_0,y₀,z₀) и известен направляющий вектор прямой

Опр. Любой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой.

Составим уравнение прямой.

Рис.31

Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y,z) (Рис.31). По условию векторы и коллинеарны, следовательно их координаты пропорциональны : (17).

Уравнения (17) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

2 Способ.

Прямая может быть задана, как линия пересечения двух плоскостей в пространстве.

Систему из двух непараллельных плоскостей

(18) называют общим уравнением прямой в пространстве.

Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Пусть прямая задана общими уравнениями (18). Чтобы записать канонические уравнения этой прямой, нужно знать ее направляющий вектор и какую-нибудь точку М₀, принадлежащую прямой (п. 4.1.2). В качестве вектора можно взять векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей и .

Рис. 32

Вектор по определению перпендикулярен обоим векторам и (Рис.32), а следовательно, параллелен прямой (Рис.32) . Для нахождения точки М₀ на прямой, надо решить систему (18) и взять любое ее решение.

Переход от канонических уравнений прямой к общим

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

Чтобы перейти к общему уравнению прямой достаточно записать канонические уравнения в следующем виде:

Здесь прямая определена с помощью уравнений двух плоскостей, из которых первая параллельна оси ОZ и вторая – оси ОХ.