Случайные величины. Их законы распределения.

Понятие случайной величины. Закон распределения.

Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или Ное значение. Возможные значения случайно величины образуют множество, которое называют множеством возможных значений случайной величины (с.в.).

Обозначения: случайная величина Х, ее возможные значения х.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности возможных событий, связанных со случайно величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал). Если с.в. Х имеет данный закон распределения, то про нее говорят, что она распределена по этому закону (или подчинена закону).

Наиболее простую форму можно придать закону распределения дискретной с.в. Для этого достаточно перечислить возможные значения с.в. Х: х₁, х₂, …, х_п и соответствующие им вероятности.

Рядом распределения дискретной с.в. Х называется таблица, в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения с.в., а в нижней - вероятности этих значений (вероятности того, что в результате опыта с.в. примет значение x_i).

Х:	х1	х2	…	хn	…
	р1	р2	…	рn	…

Так как события х₁, х₂, …, несовместны и образуют полную группу событий, то сумма всех вероятностей стоящих в нижней строке ряда равна единице

.

Эта единица как-то распределена между значениями с.в. (отсюда и термин распределение).

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения (пример).

Функция распределения с.в. Ее свойства.

Ряд распределения и многоугольник могут быть построены только для дискретной с.в. Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех с.в., является функция распределения.

Функцией распределения с.в. Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х:

.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее точки х (см. рис.).

Основные свойства функции распределения:

1. F(х) – неубывающая функция своего аргумента, то есть при х₂>х₁, F(х₂)F(х₁).

2. .

3. .

Представим событие С=А+В, где А={Х<х₁}, В={х₁Х<х₂}. По правилу сложения Р(С)=Р(А)+Р(В), то есть

или

. (*)

Итак, функция распределения F(х) любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1: , причем и .

Выражение вероятности попадания на участок через функцию распределения. Рассмотрим на оси абсцисс участок от  до .

Для определенности левый конец участка будем включать в него, а правый - нет. Пусть известна функция распределения (ф.р.) с.в. Х. Найдем вероятность того, что с.в. Х в результате опыта примет значение, лежащее на участке от  до  (включая левый конец). Используя формулу (*) получим

.

Откуда

.

Т.е. вероятность того, что с.в. Х в результате опыта попадет на участок от  до  равна приращению ф.р. на этом участке.

Выражение для вероятности отдельного значения с.в. через ф.р. Возьмем любую точку  на оси абсцисс и примыкающий к ней участок [, ). Имеем:

.

Будем неограниченно приближать точку к точке  (см. рис.). В пределе получим:

.

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция F(х) в точке  или терпит разрыв. Если функция F(х) в данной точке  непрерывна, то предел равен нулю. Если же функция F(х) в точке  совершает скачок, то предел равен величине этого скачка. В любом случае вероятность события {Х=} равна величине скачка ф.р. случайной величины Х в точке  (равен этот скачок нулю или нет).

В частности, если функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого от дельного значения с. в. Х равна нулю.

С первого взгляда этот вывод может показаться парадоксальным. Мы до сих пор встречались с событиями, вероятности которых равнялись нулю, но то были невозможные события. Событие {Х=} для с. в. Х с непрерывной функцией распределения F(x) возможно, но его вероятность равна нулю. Более того, в результате опыта непременно произойдет одно из таких событий, т. е. случайная величина Х примет одно из своих возможных значений; а вероятность каждого из них равна нулю! Как же быть с правилом сложения вероятностей? Ведь сколько нулей ни складывай, ничего отличного от нуля не получится!

Рассеем это недоумение. Вспомним, что аксиому сложения мы ввели только для конечного и для счетного бесконечного множества событий; для несчетного она попросту несправедлива. Вероятность попадания с.в. на участок от  до  равна сумме вероятностей попадания на элементарные участки, образующие его, как бы малы эти участки ни были, но не равна сумме вероятностей попадания в отдельные точки (каждая из этих вероятностей может быть и равна нулю).

Представление о событии, имеющем отличную от нуля вероятность, но складывающемся из событий с нулевой вероятностью, не более парадоксально, чем представление о фигуре, имеющей определенную площадь, тогда как ни одна точка внутри фигуры отличной от нуля площадью не обладает. Фигура состоит из таких точек, но ее площадь не равна сумме их площадей. Сколь угодно малый элемент, выделенный из фигуры, имеет площадь; она приближается к нулю при уменьшении размеров элемента и в пределе равна нулю для точки.

Если событие А в данном опыте возможно, но имеет нулевую вероятность, то противоположное ему событие не достоверно, но вероятность его равна единице (на пример, событие (Ха) для с.в. Х, функция распределения которой в точке  непрерывна).

Из того, что событие {Х=} имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т. е, частота его равна нулю, Мы знаем, что частота события при большом числе опытов не равна , а только приближается к вероятности.

Функция распределения дискретной с.в.

Функция распределения любой дискретной с.в. есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям с.в., и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна единице (пример рис.).

Непрерывная с.в. Плотность распределения.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую очень много возможных значений, расположенных очень близко друг к другу на числовой оси, и построим ее функцию распределения (рис. 3.4.1). По мере увеличения числа возможных значений и уменьшения интервалов между ними число скачков становится все больше, а сами скачки - все меньше. Ступенчатая линия приближается к плавной, непрерывной (см. пунктирную линию на рис. 3.4.1). Естественной идеализацией такого положения является случай, когда функция F(х) непрерывна.

Условимся называть случайную величину Х непрерывной, если ее функция распределения не только непрерывна в любой точке, но и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек, где она терпит излом (рис. 3.4.2).

Так как для таких случайных величин функция F(х) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю:

Р{Х=}=0 для любого 

Таким образом, для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между ее значениями: каждое из них имеет пулевую вероятность. И все же в каком-то смысле среди значений непрерывной с. в. есть «более и менее вероятные». Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины У — рост наугад взятого человека 170 см — более вероятно, чем 220 см, хотя и то и другое значение могут встретиться на практике.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, введем понятие плотности распределения или плотности вероятности.

Подойдем к нему, исходя из механической интерпретации распределения вероятностей. Для дискретной с.в. Х эта интерпретация сводится к тому, что в точках х₁, х₂, ..., х_i, ... сосредоточены массы р₁, р₂, ..., р_i, причем сумма всех масс равна 1.

Обобщим эту интерпретацию на случай непрерывной с.в. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно «размазана» по оси абсцисс Ох (рис. 3.4.3) с какой-то, в общем случае, неравномерной плотностью. Вероятность попадания с. в. Х на любой участок х будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке — как отношение массы к длине; на участке [х, х+х) средняя плотность будет равна:

Вероятность попадания с.в. Х на участок [х, х+х) равна приращению функции распределения на этом участке; поэтому средняя плотность на участке от х до х+х будет равна

.

Переходя к пределу при х0, получим плотность в точке х:

.

а это не что иное, как производная функции распределения (вот для чего нам понадобилось, чтобы функция F(х) была дифференцируема!).

Таким образом, мы ввели в рассмотрение новое и очень важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности, иногда просто плотностью) непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f(х)

.

Про случайную величину Х будем говорить, что она имеет распределение с плотностью f(х) или, проще, распределена с плотностью f(х) на таком-то участке оси абсцисс.

Плотность распределения как и ф.р. является одной из форм закона распределения; в отличие от ф.р. Эта форма не универсальна: она существует только для непрерывных с.в. График плотности распределения называется кривой распределения.

Введем важное понятие: элемент вероятности. Рассмотрим непрерывную с.в. Х с плотностью f(х) и элементарный участок dx, примыкающий к точке х. Вероятность попадания с.в. Х на этот участок dx с точностью до бесконечно малых высших порядков равна f(х)dx. Величина f(х)dx называется элементом вероятности для точки х. Геометрически элемент вероятности приближенно равен площади элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx примыкающий к точке х.

Выразим вероятность попадания с.в. Х на участок от  до . Очевидно, вероятность попадания с.в. Х на участок Х (, ) равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу

.

Отсюда возможность выразить ф.р. через плотность распределения. Действительно,

.

В геометрической интерпретации ф.р. равна площади, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х.

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения - неотрицательная функция: (производная неубывающей функции не может быть отрицательной).

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

Это следует из свойств ф.р.

Выясним размерности ф.р. и плотности распределения. Как всякая вероятность ф.р. размерности не имеет. Размерность плотности распределения обратная размерности с.в. Х.

Числовые характеристики случайных величин

Выше мы познакомились с рядом полных, исчерпывающих характеристик случайных величин — а именно законов распределения. Каждый закон распре- деления исчерпывающим образом описывает распределение вероятностей и дает возможность вычислять вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Универсальным видом закона распределения, пригодным для любой случайной величины — дискретной, непрерывной или смешанной, является функция распре деления

Кроме этого универсального, существуют еще и частные виды законов распределения: ряд распределения (только для дискретных случайных величин) р_i=Р{X=х_i}, i=1, ..., n, ... и плотность распределения f(x)=F’(х) (только для непрерывных случайных величин).

Каждый закон распределения представляет собой не которую функцию, указание которой полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.

Однако во многих вопросах практики нет надобности в таком полном описании; зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения; например, какое-то среднее, вокруг которого разбросаны значения случайной величины; какое-то число, характеризующее величину этого разброса (так сказать, «степень случайности» случайной величины), и т. п. Пользуясь такими характеристиками, мы хотим существенные особенности случайной величины охарактеризовать сжато и лаконично, с помощью небольшого набора чисел. Эти числа, призванные выразить в сжатой форме наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

В теории вероятностей числовые характеристики играют огромную роль. С их помощью существенно облегчается решение многих задач (многочисленные примеры мы увидим в дальнейшем). Часто удается решить задачу до конца, вовсе оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. Например, когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, сравнимое с влиянием каждой из остальных, то закон распределения этого результата зачастую практически не зависит от законов распределения отдельных случайных величин (возникает так называемый «нормальный закон», которому в дальнейшем будет уделено много внимания). В таких случаях для решения задачи, связанной с конечным результатом опыта, нет надобности в знании законов распределения отдельных случайных величин: достаточно знать их числовые характеристики.

Не преувеличивая, можно сказать, что умение применять теорию вероятностей для решения практических задач в значительной мере определяется искусством пользоваться числовыми характеристиками случайных величин, оставляя в стороне законы распределения.

Среди числовых характеристик случайных величин, прежде всего, рассмотрим характеристики положения, фиксирующие положение случайной величины на числовой оси, т. е. некоторое среднее, ориентировочное значение с. в., около которого группируются ее возможные значения.

Среднее значение с. в. является как бы ее «представителем» и заменяет ее при грубых, ориентировочных расчетах. Когда мы говорим «средняя дневная температура июля в данной местности равна 20С» или «средняя точка попадания смещена относительно цели на 2 м вправо», мы этим указываем определенную числовую характеристику с. в., описывающую ее положение на числовой оси, т. е, характеристику положения.

Из характеристик положения в теории вероятностей наибольшую роль играет математическое ожидание, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Подойдем к понятию математического ожидания, исходя из механической интерпретации распределения дискретной с. в. Пусть единичная масса распределена между точками оси абсцисс х₁, х₂, ..., х_n причем материальная точка х_i имеет массу p_i (i=1, 2, ..., n).

Нам требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учетом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Обозначим абсциссу центра массы М[X]. Имеем

или учитывая, ,

.

Это есть среднее взвешенное значение с. в. Х, в которое абсцисса каждой точки х, входит с «весом», равным соответствующей вероятности.

Полученное таким образом среднее значение случайной величины Х называется ее математическим ожиданием. Это — одно из важнейших понятий теории вероятностей. Дадим ему словесную формулировку.

Математические» ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.

Теперь рассмотрим случай, когда число возможных значений дискретной с. в. Х не конечно, а бесконечно (образует счетное множество). Формула для математического ожидания остается той же, только в верхнем пределе суммы и заменяется на бесконечность:

;

.

Математическое ожидание – не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей; иногда применяются и другие: мода и медиана случайной величины.

Математическое ожидание – не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей; иногда применяются и другие: мода и медиана случайной величины.

Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность p_i или плотность распределения f(x) достигает максимума). Условия моду случайной величины X обозначать M_x.На рисунке 4.1.1 показан многоугольник распределения дискретной случайной величины X с рядом распределения для которой M_x = 1. На рисунке 4.1.2 показана кривая распределения непрерывной случайной величины X; точка, в которой плотность f(x) достигает максимума, и есть мода M_x. Экспериментальные ( статистические) аналоги моды: для дискретной случайной величины X – то значение, которое в данной серии опытов встречалось чаще всего; для непрерывной случайной величины – центр того элементарного интервала, для которого «плотность частоты» (отношение частоты попадания в этот интервал к его длине) достигает максимума.

Если вероятность или плотность вероятности достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рисунок 4.1.3 и 4.1.4). Наличие более чем одной моды часто указывает на разнородность статистического материала, лежащего в основу исследования.

Иногда применяется ещё одна характеристика положения – медиана случайной величины X, которую мы обозначаем X_m. Эта характеристика применяется, как правило, только для непрерывных случайных величин. Медианой непрерывной случайной величины X называется такое её значение X_m, для которого

P{Xx_m}=P{Xx_m}=1/2,

т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина X меньше x_m или больше x_m. Геометрически медиана – это абсцисса той точки на оси 0x (рисунок 4.1.5), для которой площади, лежащие слева и справа от неё, одинаковы и равны 1/2 (рисунок 4.1.5).

В случае симметричного распределения (имеющего моду) математическое ожидание (если оно существует), мода и медиана совпадают.