Похибка інтерполяції

Нехай - інтерполяційний багаточлен, побудований для функції по вузлах інтерполяції з відрізку по формулі (1) або (2). Тоді можна написати наближену рівність .

Різниця , що виражає похибку інтерполяції, називається залишковим членом і позначається . Його можна записати у вигляді

, (3)

де , а - деяка невідома точка, або за допомогою розділених різниць у виді

(4)

Залишковий член у формі (3) використовують у тому випадку, коли . В цьому випадку

, (5)

де .

Якщо ж не належить , то користуються залишковим членом у формі (4).

Приклад. З якою точністю можна вичислити за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (1) для функції , вибравши вузли інтерполяції 100, 121, 144?

Рішення. Маємо . Звідси при . На підставі формули (5), отримуємо .

Зауваження про інтерполяційні формули Лагранжа і Ньютона

Отже, ми маємо два різні записи одного і того ж інтерполяційного багаточлена у формі Лагранжа і у формі Ньютона. У інтерполяційного багаточлена Лагранжа (1) видно явна його залежність від кожного значення . Така залежність дозволяє, наприклад, обчислювати значення ряду різних функцій у фіксованій точці по заданій системі вузлів . Для цієї мети необхідно спочатку вичислити коефіцієнти Лагранжа у фіксованій точці і запам'ятати, потім для різних функцій можна вичислити значення відповідних інтерполяційних багаточленів за формулою (1).

Проте, якщо міняти , то інтерполяційний багаточлен Лагранжа потрібно будувати наново. У цьому полягає його недолік.

З формули (2) видно, що при зміні міри у інтерполяційного багаточлена Ньютона вимагається тільки додати або відкинути відповідне число стандартних доданків. Цю обставину можна використовувати на практиці при складанні таблиці значень заданої функції.

Інтерполяційні формули Ньютона у разі рівновіддалених вузлів

При інтерполяції на початку або кінці таблиці прийнято записувати інтерполяційний багаточлен у вигляді так званих формул Ньютона для інтерполяції вперед або назад.

Формула

, (6)

де називається інтерполяційною формулою Ньютона для інтерполяції вперед.

Формула

, (7)

де називається інтерполяційною формулою Ньютона для інтерполяції назад.

У формулі (6) початок відліку розташований в крайньому лівому вузлі , тому її зручно використовувати, коли точка , в якій обчислюється значення , знаходиться на початку таблиці. У формулі (7) початок відліку розташований в крайньому правому вузлі , тому її зручно використовувати при інтерполяції у кінці таблиці. Залишкові члени інтерполяційних формул (6) і (7) будуть такими:

, де .

Іноді зручно записувати інтерполяційні формули (6), (7) за допомогою різниць вперед:

(6¹)

, (7¹)

де .

При інтерполяції усередині таблиці можна скористатися інтерполяційною формулою Ньютона-Стирлинга

де , .

Тут найближчий вузол до заданої точки , а - деяка (невідома) точка відрізку, що містить .

Лабораторне заняття № 6

Інтерполяційний багаточлен Лагранжа (2 год.)

Мета заняття: навчити студентів опрацьовувати отримані дослідні данні у вигляді інтерполяційного багаточлену Лагранжа.

Послідовність виконання:

1. Ознайомитись із теоретичними відомостями.

2. Обчислити коефіцієнти поліному у вигляді інтерполяційного багаточлену Лагранжа.

3. Оформити звіт лабораторної роботи.

Варіанти лабораторної роботи по темі:

"Інтерполяція функції однієї змінної"

Варіант 1

Скласти інтерполяційні багаточлени Лагранжа для функцій

зао їх значенням в рівновіддалених вузлах з відрізку [0; 0,5]

при ; при кожному знайти .

Скласти таблицю виду

Таблиця результатів

Значення n	n=4	n=5	n=6		n=7	n=8	n=9	n=10
Функції	Значення

Як залежить від для кожної функції? Яка з цих функцій краще апроксимується, какая-хуже? Для кожної функції виписати інтерполяційний багаточлен, який при даних краще всього апроксимує її на відрізку [0; 0,5], тобто для якої значення є мінімальним.

Варіант 2

Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа для функції по її значеннях у вузлах 0; 0,21; 0,44; 0,69. записати його в зошиті. Вичислити для значень , починаючи з до з кроком . В результатах обчислень зберігати по 2 десяткові знаки і оформити їх у вигляді таблиці:

	Значення, вичислені по інтерполяційній формулі Лагранжа	Точні значення кореня	Абсолютна похибка	Відносна похибка
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05

За допомогою залишкового члена оцінити модуль погрішності інтерполяції на відрізку .

Варіант 3

Побудувати інтерполяційний багаточлен Ньютона 5 степенню для інтерполяції вперед по значеннях функції в рівновіддалених вузлах . Знайти значення цього багаточлена в точках . Сам багаточлен записати, зберігши по 2 десяткові знаки в коефіцієнтах. Обчислення оформити у вигляді наступної таблиці:

Таблиця результатів

	0,001	0,002	…	0,0100

Причому, в результатах зберігати по 3 десяткові знаки.