2. Освоить методику применения законов Ома и Кирхгофа в операторной форме.
Рассмотреть процесс включения последовательной цепи R, L, С на источник напряжения (рис. 17); при этом предположить, что конденсатор был предварительно заряжен и имел напряжение Uc(0).
Для данной цепи по II закону Кирхгофа справедливо следующее уравнение:
(30)
Чтобы перейти к операторной форме, надо обе части уравнения (30) умножить на е-Рt и проинтегрировать от нуля до бесконечности. Интеграл справа разбить на сумму интегралов с учетом того, что
Уравнение (30) в операторной форме:
(31)
Откуда
(32)
Выражение (32)
является законом Ома в операторной
форме.
.
Знаменатель выражения (32)
называют операторным сопротивлением. Числитель этого выражения, помимо э. д. с., включенной в ветви,
содержит еще два
слагаемых: Li(0) и
Запомнить, что эти слагаемые называют внутренними э. д. с. Они
учитывают то, что в момент коммутации (при t=0) магнитное поле катушки и электрическое поле конденсатора обладали определенным запасом энергии.
Таким образом, внутренние э. д. с. учитывают начальные условия. При нулевых начальных условиях закон Ома принимает вид
По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, связанных в один узел, равна нулю:
(33)
Пусть изображение каждого из токов по Лапласу имеет следующий вид:
(34)
С учетом выражения (34), уравнение (33) в операторной форме принимает вид:
(35)
т. е. алгебраическая сумма изображений токов в ветвях, сходящихся в один узел, равна нулю. Уравнение (35) выражает первый закон Кирхгофа, записанный в операторной форме.
По второму закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме э. д. с.
Рассмотреть контур электрической цепи, содержащей n ветвей, каждая из которых содержит R, L, С и е. Составим для выбранного контура по второму закону Кирхгофа уравнение для мгновенных значений:
(36)
Полагая
получить второй закон Кирхгофа в
операторной форме:
(37)
где
операторное сопротивление ветви.
При нулевых начальных условиях второй закон Кирхгофа принимает следующий вид:
(38)
Следовательно, структура уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа в операторной форме, такая же, как и в символической форме для комплексов действующих значений, только необходимо в операторной форме учитывать внутренние э. д. с.
3. Научиться составлять операторную схему замещения.
Для нахождения изображения искомой функции времени полезно изобразить операторную схему замещения. Для этого коммутационные аппараты следует установить в такое положение, какое они имеют при переходном процессе, а элементы электрических цепей заменить их операторным изображением, как показано в табл. 3.
При нулевых начальных условиях в операторных уравнениях и схемах отсутствуют внутренние э. д. с. и их источники Li(0) и . В качестве примера составления операторной схемы рассмотреть конкретную цепь с
ненулевыми начальными условиями (рис. 18).
Указать на схеме положительные направления токов в ветвях и на основании табл. 3 построить операторную схему (рис. 19).
Операторная схема позволяет не только сразу записать уравнения по законам Кирхгофа, но и воспользоваться другими известными методами расчета электрических цепей постоянного тока. К ним относятся метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора и др.