4.5. Метод комплексных амплитуд (символический метод)

Метод применяется для определения вынужденных составляющих реакций при воздействии синусоидальных или обобщенных сигналов. Метод можно применять только в том случае, если собственные частоты цепи не совпадает с частотой входного сигнала.

4.9. Методы анализа (расчета) линейных цепей при гармоническом воздействии

в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен метод комплексных амплитуд (МКА). Возможность применения МКА основана на том, что в линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает, а потому расчет цепей сводится к расчету амплитуд и начальных фаз токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, в то время как частота в любой точке цепи равна частоте входного сигнала.

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

б ) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = X_m cos(₀t – _x)  X_m = X_m e^–jx.

R

Z_R=R

C

Z_C=1/(jC)

L

Z_L=jL

Рис. 4.27

2 ) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Y_m = Y_m e^–jy.

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Y _m =Y_m e ^–jy  y(t) = Y_m cos(₀t – _y).

Пример 5. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, структура которой приведена на рис. 4.29.

Рис. 4.29. RLC-цепь второго порядка

На вход цепи подается синусоидальное воздействие . Параметры воздействия и элементов цепи известны: U_m=1 В, ω =1 с^-1 , φ _u=90⁰ , R=1 Ом, L=1 Гн, C=1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму.

Решение.

1. Представим воздействие в комплексной форме:

.

2. Построим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30.

Рис. 4.30. Схема замещения цепи в частотной области

3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. При этом можно воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей:

, , ,

,

, ,

,

, .

3. Построим векторную диаграмму для токов и напряжений в цепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Векторная диаграмма

 Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. При необходимости записать временную функцию тока или напряжения, это всегда можно сделать, имея векторную диаграмму. Например, напряжение на L-элементе имеет амплитуду , а начальную фазу 135⁰, значит, во временной области это напряжение можно записать так:

.

Пример 6.1. Рассчитать мгновенное значение тока в контуре (рис. 6.1), если включен источник гармонического напряжения e(t) = Ecos(ωt+φ₀).

Р ешение. Комплексная амплитуда ЭДС E(jω) = Ee^jφo.

Комплексное сопротивление контура Z(jω) = R + jωL.

Комплексная амплитуда тока в контуре по закону Ома равна I(jω) = E(jω)/(R + jωL). В показательной форме это выражение принимает вид:

где ,

П ропуская промежуточную запись (6.2), запишем мгновенное значение тока по формуле 6.3

(6.4)

Дом. задание. Требуется определить токи всех ветвей и построить векторную диаграмму.

Вариант № 6–1. Д ано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω₀ = 10⁴ рад/с,

φ = π/4. R1 = R2 = R3 = 100 Ом, C1 = 2 мкФ.

Вариант № 6–2.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω₀ = 10⁴ рад/с,

φ₀ = π/3. R1 = R2 = R3 = 100 Ом, L1 = 5 мГн.

В ариант № 6–3.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω₀ = 10⁴ рад/с,

φ₀ = π/4, R1 = R2 = R3 = 10 Ом, L1 = 1 мГн.

В ариант № 6–4. Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω₀ = 10⁴ рад/с,φ₀ = π/3, R1 = R2 = R3 =10 Ом, C1 = 10 мкФ.

Вариант № 6–5.

Дано: u(t)=Ucos(ωt + φ ), U=1 В, ω₀ =10⁴ рад/с,

φ₀ = π/4. R1 = 100 Ом, R2 = R3 = 10 Ом, C1 = 2 мкФ.