4.Однородные интегральные уравнения Фредгольма II рода с симметрическими ядрами (ся).

ЯФ называется СЯ, если . Отсюда, ОФ с СЯ является самосопряженным и, следовательно, R и СФ, отвечающие различным ХЧ, ортогональны. По теореме Гильберта-Шмидта, , где -ХЧ , -ортонормированная система СФ оператора , -количество ХЧ оператора , считая их кратность. Из теоремы также вытекают следующие приложения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ортонормированный базис в

(K обратим .

Пример 4.1. Найти ХЧ и СФ ИУ

(4.1).

Найти норму соответствующего ОФ , записать билинейное разложение K, вычислить ряд ; является ли система СФ оператора ортонормированным базисом в :?

Решение. Достаточно рассмотреть случай R. Подставляя ядро в уравнение, получаем ИУВ: (4.2) Т.к. -абсолютно непрерывна, то дифференцируя обе части ИУ и приводя подобные, получим (4.3)

По той же причине обе части последнего уравнения еще раз можно продифференцировать:

(4.4) Поскольку из (4.2) и (4.3)

то сравнивая (4.4) с (4.2), приходим к выводу, что является

решением краевой задачи 2-го порядка: .

Возможны три случая:

1) . Тогда . Подставляя краевые условия, получим, что , т.е. в этом случае ХЧ и СФ отсутствуют.;

2) . Характеристическое уравнение имеет вид ,

. Решение, поэтому, ищем в виде . Подстановка краевых условий приводит к системе :

(4.5)

. Корни этого уравнения (не подходит), , N . Отсюда , - ХЧ оператора ИУ. СФ найдем, вычислив нетривиальные решения системы (4.5), которые существуют при . Подставляя в (4.5), получим

.

Т.о., и выбираем так, чтобы . Вычисления показывают, что , т.е. -СФ ИУ (4.2);

3) . Действуя так же, как и в случае 2), приходим к выводу, что в этом случае ХЧ и СФ ИУ (4.2) не имеет.

Из формулы 1) этого пункта находим, что . Используя равенство (4.1) и формулу 2), запишем билинейное разложение СЯ :

(разложение в двумерный ряд Фурье СЯ ). По формуле 3) легко вычисляется нетривиальный ряд:

.

Рассмотрим ИУ . Используя (4.2) - (4.4) (с нулевой левой частью), последовательно, получаем, что . Т.о. система функций - ортонормированный базис в .

Пример 4.2 Найти ХЧ и СФ ИУ:

Найти норму соответствующего ОФ К, записать билинейное разложение К, вычислить ряд ; является ли система СФ оператора К ортонормированным базисом в ?

Решение. Подставим ядро в уравнение и сведем его к краевой задаче (см. пример 4.1):

.

Краевая задача имеет вид:

Т. к. , то возможны следующие два случая ( ):

а) . Характеристическое уравнение

. (4.6) Подставляем краевые условия

(4.7)

Т.к. , то получаем трансцендентное уравнение: . (4.8) Решим его графически, чтобы установить факт наличия или отсутствия положительных корней ( ). Для этого запишем (4.8) следующим образом: или, в более удобном для построения графика виде: . График правой части – гипербола (см. чертеж).

Решив графически уравнение (4.8), устанавливаем существование одного его положительного корня . С помощью найдем ХЧ исходного уравнения: . При система уравнений (4.7) имеет нетривиальное решение. Найдем его. Т.к. столбцы определителя этой системы линейно зависимы (из (4.8) ), то из первого уравнения находим общее решение . Теперь можно найти СФ уравнения, подставив и , в (4.6): . Положив теперь , получим, что . Поскольку система СФ ОФ с СЯ ортонормированная, то

.

Т.о., ; (4.9)

б) . (4.10) Подставляя краевые условия, приходим к системе:

(4.11)

. Т.к. , то получаем трансцендентное уравнение (4.12), записав которое, например, в виде , решим графически (см. график).

…

В данном случае уравнение (4.12) имеет счетное множество положительных корней . Следовательно в этом случае существует счетное множество ХЧ исходного уравнения . Подставив каждое число в систему (4.11), найдем и и затем СФ из (4.10):

(4.13)

Т.о., множество ХЧ ИУ , где - положительный корень уравнения (4.8), а - все положительные корни уравнения (4.12), а множество

СФ (см. (4.9) и (4.13)).

Используя графики найдем норму соответствующего ОФ:

.

По формуле 2) запишем билинейное разложение СЯ данного ИУ

(кратность каждого ХЧ равна 1):

Формула 3) помогает здесь легко вычислить числовой ряд, точное значение каждого из слагаемых которого нам не известно! Действительно,

Рассматривая уравнение и дважды дифференцируя обе его части (см. сведение к краевой задаче), получаем, что и, следовательно, соответствующий интегральный оператор обратим. Т.о., система СФ ИУ

, построенная по

положительным корням трансцендентных уравнений (4.8) и

(4.12), образует ортонормированный базис в .

Замечание. Подробнее о решении данного класса уравнений

см. в [1,2,5,6],[7-9].

Упражнения. Смю упражнения ф) и б) из п. 6 (в таблицах

6.1 и 6.2 правые части нулевые).

Список литературы

1. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. М.: – Наука , 1975, 303с.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.:- Наука, 1976, 542с.

3. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. – М.:- Наука, 1976, 542с.

4. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некоторые задачи. – М.:- Наука, 1991, 331с.

5. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М. :– Физматгиз, 1959, 232 с.

6. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М. :– Наука, 1965, 127 с.

7. Городецкий В.В., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П. Методы решения задач по функциональному анализу. К.: – Вища школа, 1990, 479 с.

8. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М. :– Наука, 1976, 215 с.

9. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Вашарин А.А.,

Каримова Х.Х., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач

по уравнениям математической физики. М.: - Наука, 1982.-

256 с.

Методические указания для решения задач

по дисциплине “Функциональный анализ”

(часть I).

Составитель: Дмитрий Вадимович Третьяков

Редактор: Н.А.Василенко

Подписано к печати Формат 60x84/16. Бумага тип. ОП

Объём 2 п.л. Тираж 50 Заказ Бесплатно

95007, г. Симферополь, пр. Вернадского, 4,

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского