Контрольная работа (образец)

по дисциплине "Линейная алгебра"

Вариант № 1

Руководитель работы

___________Шабалина Л.Г.

"_____"_________________2013г.

Выполнил студент 1011 группы _____________Иванов И.П.

"_____"______________2013

Бузулук 2013

Разделы курса 1 семестр

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

2. Матрицы и действия над ними. Миноры. Ранг матрицы. Линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Элементарные преобразования.

3. Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

4. Метод последовательного исключения неизвестных. Теорема Кронекера - Капели.

5. Векторы, линейные операции над ними, линейная зависимость векторов. Базис.

6. Декартова прямоугольная система координат. Проекция вектора на ось.

7. Действия над векторами в координатной форме. Скалярное произведение векторов.

8. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства.

9. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве. Общее уравнение, уравнение в "отрезках", нормальное уравнение. Расстояние от точки до прямой. Полярная система координат.

10. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве.

11. Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

12. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Задания для контрольных работ

Задание 1 Коллинеарны ли векторы , . Перпендикулярны ли векторы , , если = ; = 3 ; = ; = 2

1в
2в
3в
4в
5в
6в
7в
8в
9в
10в

Задание 2 Решить матричное уравнение, где Х - неизвестная матрица

1в  Х = ;	6в  Х = ;
2в  Х = .	7в  Х = .
3в  Х = .	8в  Х = .
4в.  Х = .	9в  Х = ;
5в  Х = .	10в  Х = ;

Задание 3 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

1в	2в	3в	4в
5в	6в	7в	8в
9в	10в

Задание 4

Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в таблицах (соответственно варианту). Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья	Расход сырья на единицу продукции (усл.ед.) по видам				Запас сырья (усл.ед.) по вариантам
	1	2	3	1в		2в	3в	4в	5в
1	2	3	4	2000		1600	1800	900	2700
2	2	1	1	700		900	800	400	1200
3	3	2	2	1300		1500	1400	700	2100
	1	2	3	6в		7в	8в	9в	10в
1	2	3	5	2300		1700	1000	3000	4600
2	4	3	1	1300		1900	800	2400	2600
3	4	2	3	1700		1700	900	2700	3400

Указание: Записать балансовые соотношения при условии полного расхода запасов каждого вида сырья. Полученную систему линейных уравнений решить:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы.

Задание 5

Исследовать и решить систему, если система имеет бесчисленное множество решений, то найти общее и одно частное решение

1в		2в
3в		4в
5в		6в
7в		8в
9в		10в

Задание 6

Исследовать и решить систему, если система имеет бесчисленное множество решений, то найти общее и одно частное решение

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

Задание 7

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

А)уравнение стороны АС;

б) уравнение высоты, проведенной из вершины В;

в) длину высоты, проведенной из вершины А;

г) величину ( в радианах) угла В;

д) уравнение биссектрисы угла В.

1в А(5;3), В(-11; -9), С(-4;15)	6в А(-7; 2), В(5;-3), С(8;1)
2в А(1;-15), В(6; -3), С(2;0)	7в А(-8;3), В(4;-2), С(7;2)
3в А(6;3), В(10;-9), С(-3;15)	8в А(-9;6), В(3;1), С(6;5)
4в А(20;5), В(-4;12), С(-8;9)	9в А(-3;-7), В(2;5), С(-2;8)
5в А(10;1), В(-16; 13), С(1;-11)	10в А(0; -9), В(5;3), С(1;6).

Задание 8 (пирамиды) Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:

1. Записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов.

2. Найти угол между векторами .

3. Найти площадь грани АВС.

4. Найти объем пирамиды.

5. Уравнение ребра АС.

1в	А(2;-3,1); В(6,1,-1);С(4,8,-9); D(2,-1,2)	2в	А(1, -4,-0); В(5,0,-2); С(3,7,-10,) D (1,-2,1)
3в	А(5, -1,-4); В(9,3,-6); С(7,10,-4) D (5,1,-3)	4в	А(-3, -6,2); В(1,-2,0); С(-1,5,-8) D (-3,-4,3)
5в	А(-1, 1,-5); В(3,5,-7); С(1,12,-15) D (-1,3,-4)	6в	А(-4,2,-1); В(0,6,-3); С(-2,13,-11) D (-4,4,0)
7в	А(0, 4,3); В(4,8,1); С(2,15,-7) D (0,6,4)	8в	А(-2, 0,-2); В(2,4,-4); С(0,11,-12) D (-2,2,-1)
9в	А(3,3,-3); В(7,7,-5); С(5,14,-13) D (3,5,-2)	10в	А(4, -2,5); В(8,2,3); С (6,9,-5) D (4,0,6)

Задание 9

1 в. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F (7; 0) и до прямой х = 1,4 равно . Сделать чертеж.

2 в. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси Оу.

3 в. На эллипсе найти точку, расстояние которого от правого фокуса в 4 раза больше, чем расстояние ее от левого фокуса. Сделать чертеж.

4 в. Составить уравнение окружности, центр которой находится в точке А (1; 2), зная, что окружность проходит через точку В (3; 2). Сделать чертеж.

5 в. Составить уравнение и найти длину общей хорды параболы и окружности .

6 в. Даны точки А (-3; 0) и В (3; 6). Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок АВ. Сделать чертеж.

7 в. Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся ее директрисы. Сделать чертеж.

8 в. Эксцентриситет эллипса . Большая полуось . Написать уравнение эллипса., построить кривую.

9 в. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10. Сделать чертеж.

10 в. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F и до прямой равно . Сделать чертеж.

Задание 10

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить эту кривую.

1в	6в
2в	7в
3в	8в
4в	9в
5в	10в

Контрольные вопросы для самоподготовки

1. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.

2. Матрицы действия над матрицами.

3. Определитель матрицы. Свойства определителей.

4. Транспонирование определителя свойства определителей.

5. Определитель третьего порядка. Способы его вычисления.

6. Разложение определителя третьего порядка по элементам строки (столбца). Миноры и алгебраические дополнения.

7. Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

8. Решение систем линейных уравнений. Формулы. Крамера.

9. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

10. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение.

11. Линейная однородная система n - уравнений с n – неизвестными.

12. Матрицы. Ранг матрицы.

13. Система m -линейных уравнений с n - переменными. Теорема Кронекера -Капелли.

14. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

15. Проекция вектора на ось.

16. Действия над векторами, заданными своими координатами.

17. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

18. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Угол между векторами.

19. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости.

20. n – переменный вектор и векторное пространство.

21. Размерность и базис векторного пространства.

22. Переход к новому базису.

23. Эвклидово пространство.

24. Линейные операторы.

25. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

26. Квадратичные формы.

27. Понятие об уравнении линии. Общее уравнение прямой.

28. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках.

29. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

30. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.

31. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

32. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности о двух прямых.

33. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

34. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

35. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности.

36. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса по его уравнению

37. Каноническое уравнение гиперболы. Равносторонняя гипербола.

38. Каноническое уравнение параболы.

39. Поверхности второго порядка.

40. Каноническое уравнение эллипсоида.

41. Каноническое уравнение параболоида.

42. Каноническое уравнение гиперболоида.

43. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перрона.

Литература

Основная (1 семестр)

1. Кремер А.В. Высшая математика для экономистов. М.: Высшая школа, 2000

2. Кремер А.В. Высшая математика для экономистов. М.: Высшая школа, 2004

3. Красс Н.П. Курс высшей математики. М.: Высшая школа, 2003

4 П. И Баврин, В. Л. Матросов Общий курс высшей математики. М., Просвещение, 2004

5 Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Высш.шк., 1978.

6 Данко П. С., Полев А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1980.

7 Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) под ред. Демидовича Б. Л. М.: Наука, 1978.

8 Давыдов П. А., Коровкин П. Л., Никольский В. П. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1973.

9 Щипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1976.

10 Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенков К. В. Курс математического анализа под ред. Проф. Б. З. Вулиха. М.: Просвещение, 1978.

Дополнительная

1. Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян Практикум по высшей математике. Ростов на –Дону, Феникс, 2006

2. Зайцев И. А. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1991

3 С.Н. Федин Сборник задач по высшей математике, М.; Айрис пресс, 2006.

4 А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, «Математика в экономике», М.;

«Финансы и статистика», 1998 г. (часть 1,2)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Бузулукский гуманитарно-технологический институт

(филиал)

Факультет экономики и права

Кафедра физики, информатики, математики

Л.Г. Шабалина