Практическое занятие № 2 (2.3.2.) система сил, не лежащих в одной плоскости

Задание С.6. Приведение системы сил к простейшему виду

Определить главный вектор * и главный момент _O заданной системы сил относительно центра О и установить, к какому простейшему виду приводится эта система. Размеры параллелепипеда (рис. 24), а также модули и направления сил указаны в табл. 10.

Табл 10

№ вар	Размеры прямоуголь- ного параллеле-пипеда, см			Силы системы
				1			2			3			4
	A	b	c	Мо-дуль, Н	То- чка прил	Нап-равл.	Мо-дуль, Н	То- чка прил	Нап-равл.	Мо-дуль, Н	То- чка прил	Нап-равл.	Мо-дуль, Н	То- чка прил	Нап-равл.
1	60	30	20	4	F	FK	6	A	AE	8	B	BA	10	D	D K
2	30	40	40	20	A	AC	24	O	OD	10	K	K B	-	-	-
3	20	10	10	4	B	BA	2	C	CK	8	E	ED	-	-	-
4	30	40	20	15	A	AB	20	K	KC	-	-	-	-	-	-
5	20	20	20	8	O	OD	10	D	DF	8	K	KC	10	B	B O
6	30	40	20	8	A	AO	4	E	E F	6	F	F B	20	D	DF
7	30	40	40	10	B	BK	16	C	C O	20	D	DF	-	-	-
8	20	30	10	10	O	OA	10	B	B F	10	D	D K	-	-	-
9	30	40	30	10	A	AC	20	K	K B	-	-	-	-	-	-
10	10	10	20	20	A	AC	30	O	OD	20	K	K E	30	E	EA
11	10	40	30	8	A	AE	12	C	CB	20	O	O K	16	K	K D
12	4	8	6	6	A	AE	20	E	E A	10	C	CK	8	D	D K
13	20	20	20	8	O	OB	8	C	CD	8	E	E K	-	-	-
14	20	5	8	40	B	BA	30	O	OD	-	-	-	-	-	-
15	40	20	40	15	E	AE	10	F	F E	15	B	B F	10	D	D K
16	30	30	30	6	O	OC	10	B	B K	20	K	K O	-	-	-
17	15	15	20	30	E	EB	40	B	B K	10	O	OC	32	D	D O
18	10	15	20	40	A	AB	20	K	K C	16	D	D E	-	-	-
19	20	15	15	40	C	CA	20	D	DF	-	-	-	-	-	-
20	20	20	10	10	A	AD	20	B	B O	10	K	K B	20	D	DF
21	20	20	20	10	O	OD	8	B	B A	6	K	K F	8	D	D K
22	40	20	30	30	O	OA	50	E	EB	50	C	CD	25	D	D K
23	50	20	40	10	O	OA	5	F	F B	8	K	K D	-	-	-
24	30	40	30	40	A	AD	20	K	K E	-	-	-	-	-	-
25	30	20	40	25	A	AC	20	B	BA	25	K	K E	20	D	D K
26	30	40	20	10	E	EA	12	O	O C	10	C	CK	8	K	K F
27	30	20	40	8	O	OD	6	C	CB	4	D	D K	-	-	-
28	10	14	40	4	O	OA	10	F	F E	16	C	CK	-	-	-
29	30	30	40	80	B	BK	100	D	D C	-			-	-	-
30	40	20	30	10	A	AD	5	B	B O	10	K	K B	5	D	DF

Рис. 24

При выполнении задания необходимо сделать следующее.

1. Изобразить заданную систему сил, выполнив построение параллелепипеда в масштабе, показав хОу на чертеже равным 135°; сокращение размеров по оси Ох принять равным 1 : 2.

2. Выбрав систему координатных осей, опре­делить модуль и направление главного вектора заданной системы сил по его проекциям на координатные оси и изобразить * на чертеже.

3. Вычислить главный момент заданной системы сил относительно центра О по его проекциям на координатные оси и изобразить _O на чертеже.

Рис. 25

4. Вычислить наименьший главный момент заданной системы сил.

5. На основании результатов вычислений глав­ного вектора и наименьшего главного момен­та * установить, к какому простейшему виду приводится заданная система сил. При этом не­обходимо сделать следующее:

а) если заданная система сил приводится к паре сил, то показать момент этой пары, при­ложив его к точке О:

б) если заданная система сил приводится к равнодействующей, то найти уравнение линии действия равнодействующей, определить точ­ки пересечения этой линией координатных плоскостей и изобразить на чертеже;

в) если заданная система сил приводится к динаме (силовому винту), то найти уравнения центральной оси, определить точки пере­сечения этой осью координатных плоскостей и изобразить * и * на чертеже.

Пример выполнения задания. Дана система сил ₁ , ₂ , ₃ , ₄;

; модули, точки приложения и направления этих сил указаны в табл. 11.

Табл.11

Размеры прямоуголь- ного параллеле-пипеда, см

Силы системы

1

2

3

4

а

B

c

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

30

50

40

10

O

O C

4

F

F B

4

C

CB

11

D

DА

Решение. 1. Определение главного вектора заданной системы сил. Заданная система сил показана на рис. 25.

Предварительно определяем

cos α = а / ; sin α = c / .

В данном случае cos α = 0,6; sin α = 0,8.

Проекции главного вектора на оси координат:

Х = Рз + Р₄ cos α; У = P₁; Z = - Р₂ - Р₄ sin α.

Рис. 26

Модуль главного вектора

R* = .

Направляющие косинусы:

cos ( *, ) = Х / R* ;

cos ( *, ) = Y / R* ;

cos ( *, ) = Z /R* .

В соответствии с исходными данны­ми получаем: Х = 10,6 H; Y = 10,0 H;

Z = -12,8 H; R* = 19,4 H;

cos ( *, ) = 0,547; cos ( *, ) = 0,515; cos ( *, ) = -0,660.

Главный вектор показан на рис.26.

2. Определение главного момента заданной системы, сил относи­тельно центра О.

Главные моменты заданной системы сил относительно координат­ных осей:

М_х = - Р₂ b; M_y = Р₂ а + Р₄ cos α с; М _z = -Рз b.

Модуль главного момента

М_о =

Направляющие косинусы:

cos( _o, ) = М_х / М_о; cos( _o, ) = М_у / М_о; cos( _o, ) = М_z / М_о.

В результате вычислений имеем:

М_х = -200 Н • см; М_у = 384 Н • см;

М_z = -200 Н • см; М_о = 477 Н • см;

Cos( _o, ) = - 0,419; cos( _o, ) = 0,805; cos ( _o, ) = - 0,419.

Главный момент _o показан на рис. 26.

Табл. 12

Точки	Координаты, см
	Х	Y	Z
А1	0	5,1	25,5
А2	- 5,4	0	32,0
А3	21,1	25,0	0

3. Вычисление наименьшего главного момента заданной системы сил:

М* = (XМ_х+ Y М_у + Z М_z) / R*

По этой формуле получаем

М*=221 Н • см.

4. Так как R* ≠ О, М* ≠ 0, то заданная система сил приводится к динаме (силовому винту).

Уравнение центральной оси таково:

[М_х - (yZ - zY)] / X = [M_y - (zX - xZ)] / Y = [М_z -(xY - yX) )/Z = М* / R*.

Из этих трех уравнений независимыми являются только два. Под­ставляя в два из этих уравнений найденные числовые значения ве­личин, находим:

[М_х - (yZ - zY)] / X = М* / R*; 6,4у + 5z = 160;

[M_y - (zX - xZ)] / Y = М* / R*; 5,3z + 6,4х = 135.

Значения координат точек пересечения центральной осью коорди­натных плоскостей, определенные с помощью этих уравнений, поме­щены в табл. 12.

Центральная ось системы сил показана на рис. 26.

Примечание. Если силы приводятся к равнодействующей, т. е.

М* = 0, а * = * ≠ 0, то уравнения линии действия равнодействую­щей:

М_х = yZ - zY ; M_y = zX - xZ ; М_z = xY - yX ,

где X, Y, Z — проекции равнодействующей силы на координат­ные оси; М_х, M_y, М_z — главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей.

Из этих трех уравнений независимыми также являются только два.