Тема 4.2

Спектр линейного непрерывного оператора

Всюду далее – комплексное банахово пространство, - линейный ограниченный оператор в .

Определение. Собственным значением оператора называется такое число , при котором уравнение

имеет ненулевые решения. Эти решения называются собственными векторами оператора , отвечающими собственному значению .

Определение. Множество всех собственных значений оператора называется точечным спектром и обозначается

Определение. Число называется регулярной точкой оператора , если оператор имеет ограниченный обратный.

Определение. Множесто регулярных точек обозначается и называется резольвентным множеством оператора .

Определение. Операторнозначная функция

называется резольвентой оператора .

Определение. Спектром оператора называется множество

.

Теорема. Спектр оператора есть непустое компактное подмноожество комплексной плоскости.

Определение. Непрерывным спектром оператора называется множество тех из , для которых множество плотно в .

Определение. Остаточным спектром оператора называется множество тех из , для которых множество не плотно в .

4.2.1. Найти спектр данного оператора (таблица 4.2.1).

Таблица 4.2.1

Вариант	A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

4.2.2. Найти спектр и резольвентное множество данного оператора в пространстве (таблица 4.2.2).

Таблица 4.2.2

Вариант	А	Вариант	А
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

4.2.3. Найти собственные значения, точки непрерывного и точки остаточного спектров оператора в пространстве , если (таблица 4.2.3).

Таблица 4.2.3

Вариант		Вариант
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

4.2.4. Найти спектр оператора в пространстве , если (таблица 4.2.4).

Таблица 4.2.4

Вариант
1	2
1
2
3
4

Окончание таблицы 4.2.4

1	2
5
6
7
8
9
10

4.2.5. Выяснить, может ли множество быть спектром неко-торого линейного ограниченного оператора. В случае поло-жительного ответа привести пример такого оператора (таблица 4.2.5).

Таблица 4.2.5

Вариант	М	Вариант	М
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Примеры решения типовых задач

1. Найти спектр данного оператора .

Пример 1.

Решение. Известно, что спектр оператора в конечномерноли пространстве состоит из собственных значений. Таким образом, нас интересуют те значения параметра , при которых уравнение имеет ненулевые решения. Но это уравнение равносильно следующей однородной системе линейных уравнений:

,

главный определитель которой равен . По следствию из правила Крамера эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель равен нулю. Решая уравнение , находим, что

2. Найти спектр и резольвентное множество данного оператора А в пространстве .

Пример 1. .

Решение. Найдем сначала точечный спектр оператора А. Рассмотрим уравнение с неизвестной функцией х из

, (1)

то есть

(2)

Требуется найти те значения параметра , при которых это уравнение имеет ненулевое решение. Но из (2) следует, что при , а тогда по непрерывности при всех t. Значит, уравнение (2) не имеет ненулевых непрерывных решений ни при каких . Таким образом, Ø.

Рассмотрим теперь уравнение ( )

_, (3)

то есть

. (4)

Резольвентное множество состоит из тех значений , при которых оператор обратим, т. е. при таких значениях уравнение (4) имеет единственное непрерывное решение х для любого непрерывного у.

Если , то уравнение (4) однозначно разрешимо относительно , а именно, . В этом случае .

Если же , то уравнение (4) разрешимо в пространстве не для всех (например, оно не имеет решения при , так как из равенства (4) следует, что ). В этом случае .

Итак, , .

Пример 2. .

Решение. Рассмотрим уравнение , т. е.

. (5)

Если , то это уравнение имеет ненулевое решение (подходит любая непрерывная функция, для которой , например, функция ). Значит, .

Если , то, разделив на _, из уравнения (5) выводим, что его решение должно иметь вид (k и b – неопределенные коэффициенты). Тогда .

Подставив эти значения в (5), получим , откуда

Из первого равенства системы следует, что или . В случае система имеет ненулевое решение (например ). А если , то система, как легко проверить, имеет только нулевое решение. Итак, уравнение (5) имеет ненулевое решение лишь при . Значит, .

Для нахождения всего спектра будем рассуждать как в примере 1, то есть рассмотрим уравнение

,

или

_, (6)

где . Из (6) следует, что

.

Подставив в (6) значение , получим . Полагая в (6) , находим, что

.

Значит, если , то решение уравнения (6) имеет вид

.

Таким образом, при уравнение (6) однозначно разрешимо в для любого у из . Итак, .

3. Найти собственные значения, точки непрерывного и точки остаточного спектров оператора А в пространстве , если .

Пример 1. .

Решение. Применяя к выражению метод интервалов, получим

Отметим, что множество значений E(a) этой функции есть отрезок (рисунок 8). Рассмотрим уравнение , то есть , или

. (7)

Если , то уравнение (7) имеет только нулевое решение. Если , то .

Рисунок 8 – График функции

Тогда уравнение (7) имеет ненулевое решение (например, изображенное графически на рисунке ). Значит, . Рассуждая аналогично при , получим, что .

Если , то должно быть равно нулю всюду, за исключением одной точки (в которой ). По непрерывности всюду на отрезке . Значит, точки интервала не принадлежат точечному спектру. Итак,

Рисунок 9 – График ненулевого решения уравнения (7)

Рассмотрим теперь уравнение (где )

то есть

. (8)

Если , то уравнение (8) имеет для любого у из единственное непрерывное решение

.

Значит, значения , не принадлежащие отрезку , являются регулярными.

Рассмотрим число . Тогда существует , такое, что , и уравнение (8) разрешимо не для любого (почему?). Значит, .

Покажем, что все принадлежат остаточному спектру. По определению образа оператора,

.

Из того, что для любого существует такое, что , следует, что при этих для любой функции выполняется условие 1): . Поэтому точка 1 не является точкой прикосновения для , а стало быть, . Значит, , а непрерывный спектр оператора А − пустое множество. Итак, Ø .

4. Найти спектр оператора , .

Пример 1. .

Решение. Данный оператор имеет вид

Рассмотрим уравнение . Оно равносильно бесконечной системе уравнений

.

Если , то эта система имеет ненулевое решение (например, вида e_n). При других система имеет только нулевое решение. Таким образом, . Так как спектр − замкнутое множество, то он содержит свои предельные точки, в данном случае 3/2; 0; -1. Значит, он содержит и замыкание = .

Предположим теперь, что , и рассмотрим уравнение

,

т. е. бесконечную систему линейных уравнений ( )

. (9)

Ее решение дается равенствами ( )

.

Выясним, принадлежит ли найденная последовательность пространству . Так как , то . Тогда

,

так как . Следовательно, если , то уравнение (9) однозначно разрешимо в при любом . Значит, в этом случае . Итак,

.

5. Выяснить, может ли следующее множество быть спектром некоторого линейного ограниченного оператора. В случае положительного ответа привести пример такого оператора.

Пример 1. .

Решение. Множество М компактно (объясните, почему). Покажем, что оно является спектром линейного ограниченного оператора.

1 способ. Рассмотрим оператор в пространстве , который, как легко проверить, линеен и ограничен (проверьте). Рассуждая как в примере 1 к задаче 3 (проведите подробное рассуждение), получаем, что .

2 способ. Положим . Это множество счетное и плотное в М (почему?). Пусть . Рассуждая как в примере 1 к задаче 4, получаем, что для линейного ограниченного оператора

в пространстве (такой оператор называется диагональным) множество S будет точечным спектром, а весь спектр будет совпадать с множеством М .