5. Розв’язати матричне рівняння, зробити перевірку

.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Визначити, при яких значеннях а та b система рівнянь a) має єдиний розв’язок (визначена); б) не має розв’язків (несумісна).

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 8

1. Перевірити, що визначник ділиться на х+у і на ,

.

2. Обчислити визначник, розклавши його за елементами 3-го рядка,

.

3. Знайти , якщо Е – одинична матриця 3-го порядку,

.

4. Задано матриці:

; .

а) Знайти (якщо це можливо) АВ; ВА; А^тВ^т; В^тА^т. Коли операція множення матриць неможлива, пояснити чому.

б) Чому дорівнюють визначники матриць АВ та В^тА^т?

5. Розв’язати матричне рівняння, зробити перевірку.

.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь а) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 9

1. Обчислити визначник, розклавши його за елементами 2-го стовпця:

.

2. Обчислити визначник

.

3. Показати, що матриця В=А+D–D^Т є нульовою матрицею, якщо

; .

4. Знайти матрицю АВ – ВА, якщо

; .

Яку матрицю С потрібно відняти від матриці АВ – ВА, щоб дістати одиничну матрицю?

5. Розв’язати матричне рівняння ХА = В, якщо

; .

Зробити перевірку.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Дослідити на сумісність систему, користуючись методом Гауса.

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 10

1. Не розкриваючи визначників, довести справедливість рівності

.

2. Обчислити визначник

.

З’ясувати, при яких значеннях a, b, c, d цей визначник дорівнює нулю.

Вказівка. ІІр.–аІр.; ІІІр.–аІІр.; IVp.–aIIIp.. Розкласти за елементами 1-го стовпця. Винести спільні множники. ІІр.–bIp.; IIIp.–bIIp.. Розкласти за елементами 1-го стовпця.

3. Показати, що матриця – корінь многочлена , тобто показати, що .

4. Показати, що матриці А і В – переставні, якщо

; .

Зауваження. Матриці, для яких виконується рівність АВ=ВА, називаються переставними.

5. Розв’язати матричне рівняння відносно квадратної матриці Х 3-го порядку ХА=В, якщо

; .

Зробити перевірку.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь a) за формулами Крамера;

б) матричним методом.

7. Визначити, при яких значеннях а система однорідних рівнянь має ненульовий розв’язок

8. Знайти ранг матриці .

Варіант 11

1. Не розкриваючи визначника, довести справедливість рівності

.

Вказівка. 1-ий рядок помножити на с; 2-ий – на b; 3-ій – на а. Весь визначник помножити на (припускаємо, що а, b та с ≠0).

2. Обчислити визначник накопиченням нулів у рядку чи у стовпці

.

3. Показати, що матриця S=3A–2B – симетрична, якщо

; .

Зауваження. Квадратна матриця S називається симетричною, якщо вона не змінюється при транспонуванні.

4. Нехай

; .

а) Знайти матриці та .

б) Яку матрицю F потрібно додати до матриці С^т, щоб дістати одиничну матрицю?

5. Розв’язати матричне рівняння

.

Зробити перевірку.

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь а) за допомогою формул Крамера;

б) матричним методом.

7. Визначити, при яких значеннях m i n система рівнянь а) має єдиний розв’язок; б) не має розв’язків.