Часть 2. Интегральное исчисление

2.1. Неопределенный интеграл

Определение 1. Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна данной функции f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.

Определение 2. Совокупность первообразных F(x)+C для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают ∫f(x)dx.

Вычисление интеграла от данной функции называют интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1⁰ Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: d∫f(x)dx=f(x)·dx; (∫f(x)dx)'=f(x).

2⁰ Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого: ∫dF(x)=F(x)+C.

3⁰ Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

4⁰ Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:

∫[f₁(x)+f₂(x)-f₃(x)]dx=∫f₁(x)dx+∫f₂(x)dx-∫f₃(x)dx

Основные методы интегрирования.

1.Непосредственное интегрирование.

Этот способ основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тождественных преобразований.

2. Интегрирование подстановкой (замена переменной).

Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к табличной форме.

В интеграле ∫f(g(x))g’(x)dx заменим t=g(x), dt= g'(x)dx, тогда ∫f(g(x))g’(x)dx=∫f(t)dt.

3.Интегрирование по частям.

При этом способе используют формулу ∫udv=uv-∫vdu (*)

К числу интегралов, вычисляемых по частям, относятся, например, интегралы вида ∫P(x)·f(x)dx, где P(x)- многочлен (в частности, степенная функция), а f(x)- одна из следующих функций: e^x, sinax, cosax, lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. При этом для интегралов вида ∫P(x)·e^axdx, ∫P(x)sinaxdx, ∫P(x)cosaxdx, в качестве “u” принимают многочлен P(x), а для интегралов вида ∫P(x)arcsinxdx, ∫P(x)arccosxdx, ∫P(x)arctgxdx, ∫P(x)arcctgxdx, ∫P(x)lnxdx в качестве “u” принимается lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Решение типовых задач.

Задача1. Решить методом непосредственного интегрирования

Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение и получим ∫(x²-6x-8+ 9/x -5x^-2)dx.

Воспользуемся свойствами 4 и 3 неопределенного интеграла:

∫(x²-6x-8+ 9/x -5x^-2)dx=∫x²dx-6∫xdx-8∫dx+9∫dx/x -5∫x^-2dx

Все полученные интегралы табличные, поэтому, применяя формулы интегрирования, получаем:

Задача 2. Решить методом непосредственного интегрирования ∫tg²xdx.

Решение. Воспользуемся соотношением tg²x =1/cos²x -1 и преобразуем заданный интеграл:

Воспользуемся свойством 4 неопределенного интеграла и формулами интегрирования:

Задача 3. Решить методом подстановки ∫(x³+5)⁴·x²·dx

Решение. Заменим x³+5=t и продифференцируем это равенство: d(x³+5)=dt; 3x²·dx=dt. Сделаем замены в заданном интеграле: ∫(x³+5)⁴·x²·dx=

Возвращаясь к первоначальной переменой x, получаем: ∫(x³+5)⁴·x²dx = (x³+5)⁵/15 + C

Задача 4. Решить методом подстановки ∫sin⁷x cosx·dx.

Решение. Заменим в подынтегральном выражении sinx=t и продифференцируем это равенство: cosxdx=dt. Делаем замену в заданном интеграле: ∫sin⁷x cosx dx = ∫t⁷·dt = t⁸/8 + C или ∫sin⁷xcosxdx =sin⁸x/8+C.

Решение интеграла способом подстановки оформляют так:

∫sin⁷x cosx·dx= =∫t⁷·dt= .

Задача 5. Решить методом интегрирования по частям ∫xlnxdx.

Решение. Согласно данным выше рекомендациям, заменим lnx=u, а оставшееся выражение xdx=dv. Найдем du=d(lnx)=dx/x и функцию v из равенства dv=xdx. Тогда ∫dv=∫xdx, откуда v=x²/2 (полагаем С=0). Теперь, зная u=lnx, v=x²/2 и du=dx/x, применим формулу интегрирования по частям ∫udv = uv-∫vdu. В нашем примере имеем:

∫lnx·xdx= или ∫xlnxdx= .

Примечание: В некоторых случаях для приведения интеграла к табличному виду формулу интегрирования по частям применяют последовательно несколько раз.

Задача 6. Решить методом интегрирования по частям ∫x²·e^xdx

Решение: Согласно данным выше рекомендациям обозначим x²=u, а оставшееся выражение е²dx=dv. Найдем du=d(x²)=2xdx и функцию v из равенства dv=e^xdx, тогда ∫dv=∫e^xdx, откуда v=e^x.

Зная u=x², v=e^x и du=2xdx, применив формулу (*), получаем: ∫x²e^xdx=x·ex-2∫xe^xdx.

Полученный в правой части интеграл ∫xe^xdx проще данного, но не табличный. Поэтому решаем его, вновь применяя формулу (*). Обозначим x=u и dv=e^xdx. Найдем du=dx; v=∫e^xdx=e^x.

Решаем ∫xe^xdx=x·e^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+С. Окончательно получаем: ∫x²e^xdx=x²·e^x-2(xe^x-e^x)+C=e^x(x²-2x+2)+С.

При решении интегралов по частям рекомендуется следующая форма записи: ∫x²e^xdx= x²·e^x-2∫xe^xdx=x²e^x-2(xe^x-∫e^xdx)= =x²e^x-2xe^x+2e^x+C = e^x(x²-2x+2)+С.