Крок батька дорівнює 72 см, а крок сина 54 см. Знайти найменшу відстань, яку потрібно пройти як батькові, так і синові щоб кожен з них зробив при цьому ціле число кроків.
Розв’язання
Потрібно знайти НСК (72, 54)
-
5472
2
36
2
18
2
9
3
3
3
1
2
27
3
9
3
3
3
1
НСК
(72, 54) =
= 216
Потрібно пройти 216 см.
Скільки існує пар натуральних чисел, у яких найменше спільне кратне (НСК) дорівнює 2000?
Розв’язання
Розглянемо два випадки:
Нехай одне з чисел дорівнює 2000 (а = 2000). Тоді друге число може бути будь-яким дільником числа 2000.
Оскільки
2000 =
,
то b
= {1:
2: 4: 5: 8: 10: 16: 20: 25: 40: 50: 80: 100: 125: 200: 400: 500:
1000}.
Є 19 пар таких чисел.
Жодне з чисел а і b не дорівнює 2000. Є 9 пар таких чисел.
Отже, всього є 28 пар натуральних чисел, які задовольняють умову.
Якщо деяке число помножити на 5, від добутку відняти його третю частину, залишок розділити на 10 і додати до нього послідовно
,
,
початкового числа, то одержимо 68. Яке
це число?
Розв’язання
Нехай деяке число дорівнює х. Тоді за умовою задачі складаємо рівняння:
Отже, це число – 48.
У 336-те відерне водоймище кожні дві години одною трубою втікає води 70 відер (одне цебро – 12, 3 л), а другою трубою витікає 42 відер. Запитується, за який час те водоймище заповниться (стародавній задачник з арифметики Войтяховського).
Розв’язання
Так як витікає з дві години 42 відра, а втікає 70, то залишається 70 – 42 = 28. За одну годину втікає 28:2 = 14 відер. Тоді потрібно 336:14 = 24 години.
В чому закономірність саме такої послідовності чисел? Якщо ви зрозумієте, то легко продовжите рядки.
18 |
20 |
24 |
32 |
|
|
|
212 |
179 |
146 |
113 |
|
|
|
6 |
8 |
10 |
11 |
14 |
14 |
|
7 |
13 |
24 |
45 |
|
|
|
6 |
7 |
9 |
13 |
21 |
|
|
64 |
48 |
40 |
36 |
34 |
|
|
15 |
13 |
12 |
11 |
9 |
9 |
|
Петро виймає з мішка чорні і червоні карти і складає їх в дві купки. Класти карту на іншу того ж кольору заборонено. Десята і одинадцята карта, викладені Петром, – червоні, а двадцять п’ята – чорна. Якого кольору двадцять шоста викладена карта?
Розв’язання
Перед 12-ю картою, обидві купки одного (червоного) кольору. Перед 13-ю різного кольору. Перед 14-ю знову одного кольору (невідомо якого). 25-а була чорна. Тоді перед 26-ю картою обидві купки були чорні. Тоді 26-а карта – червона.
Фальшива монета. Маємо 8 на вигляд однакових монет. Одна з них фальшива і відомо, що вона легша від справжньої. Як за допомогою лише двох зважувань знайти фальшиву монету? У вас є тільки лабораторні терези, яка показує тільки більше-менше.
Розв’язання
Ділимо 8 монет на 3 купки. I – 3 монети, II – 3 монети, III – 2 монети.
Зважуємо I і II.
Якщо I (II) легша, то з I (II) зважуємо 2 монети. Якщо якась з них легша, то та й фальшива. Якщо вони рівні, то та, що залишилась – фальшива.
Якщо I = II, то змащуємо III. Яка легша монета з III купки, та й фальшива.
Одна з 12 більярдних кульок має дефект. Вона важить або більше, або менше ніж стандартна кулька. Ми маємо чашечці терези, на яких можна зрівняти вагу кульок. Яка мінімальна кількість зважувань гарантує знаходження дефектної кульки?
Розв’язання
Всі кульки нумеруємо від 1 до 12. Даі розбиваємо на три кучки по чотири кульки. Зважуємо 1, 2, 3, 4 і 5, 6, 7, 8 кульки. Якщо ваги рівні, то за два зважування серед 9, 10, 11, 12 знаходимо фальшиву кульку – наприклад, зважуємо 9, 10. Якщо рівні, то зважуєм 11 з нафальшивою кулькою, якщо ні, то зважуєм 9 з нефальшивою.
Розглянемо ситуацію, коли 1, 2, 3, 4 важче ніж 5, 6, 7, 8.
Ділимо на три групи: I (1, 2, 3), II (4, 5, 6), III (7, 8, одна нефальшива кулька):
Зважуємо II і III групи.
Варіант 1. II= III. Тоді після зважування 1 і 2 результатом буде важча кулька, або 3, якщо вони рівні.
Варіант 2. II важча III. Тоді або 4 важча, або 6 чи 8 легші (5 і 7 не можуть бути важчі з 1 зважування). Зважуємо 6 і 8. Результатом буде сама легша 4, якщо рівні.
Варіант 3. II легша III. Тоді 5 або 7 легші (4 не може бути легшим і 6, 8 не можуть бути важчі з 1 зважування). Результатом буде сама легка із 5 і 7.
Якщо 1, 2, 3, 4 легше 5, 6, 7, 8, то ситуація аналогічна.
Тоді потрібно 3 зважування.
Три посудини заповнені (до верху) водою. В одній посудині 44 л води, в другій – 28 л, у третій – 24 л. У кожну посудину можна налити з іншої стільки води, скільки в ній було налито. Як розлити воду так, щоб у кожній посудині була рівна кількість води?