8. Сочетания с повторениями

1. В магазине продаются карандаши двух видов. Сколькими способами можно купить пять штук? А если надо купить 8 карандашей 4 видов?

2. Каков ответ в задаче 1.2.4, если стулья одинаковые?

3. Сколько решений в целых неотрицательных числах имеет уравнение (Сравните с предыдущей задачей)

4. (Обобщение) Сколько различных m-элементных множеств можно составить из предметов n видов? Ответ. . Такие выборки называются сочетаниями с повторениями.

9. Разные задачи

В предыдущих параграфах вы познакомились с основными приемами элементарной комбинаторики. В этом параграфе эти приемы (или их комбинации) применяются в различных ситуациях.

1. Сколько существует трехцветных флагов, состоящих из горизонтальных полос равной ширины, если можно использовать материал семи цветов? А если среди цветов флага должен быть красный? А если допускаются одноцветные полоски? А если при этом одноцветные полоски не могут располагаться рядом?

2. Для покраски помещения необходимо выбрать краски 3 цветов, при этом всего имеется краска семи цветов. Сколькими способами можно сделать выбор? А если среди выбранных красок должна быть синяя?

3. В спортивном клубе 30 бегунов. Сколькими способами можно выбрать четверых для участия в забеге? А для участия в эстафете?

4. У одного библиофила 7 книг, у другого 9. Сколькими способами можно обменять три книги одного на три книги другого?

5. В роте 3 офицера, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно сформировать отряд из офицера, трех сержантов и 10 рядовых? А если в отряд должны войти командир роты (он, естественно, офицер), старший по возрасту сержант и рядовой Иванов как самый высокий?

6. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно извлечь 4 карты различных мастей? А если карты должны различаться не только мастью, но и названием?

7. Найдите число выборок, составленных из a предметов первого вида и b предметов второго вида, если всего предметов первого вида n, а второго m.

8. Пять девушек и трое юношей разбиваются на две равные команды для игры в волейбол. Сколькими способами они могут это сделать? А если в каждую команду должен войти хотя бы один юноша? А если юношей и девушек по четыре, причем в каждой команде их должно быть поровну?

9. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика»? А слова «комбинаторика»?

10. Сколькими способами могут встать в круг пять юношей и пять девушек? А если необходимо, чтобы они чередовались?

11. Сколько различных ожерелий можно сделать из 10 различных бусинок? А если бусинки двух видов: две черные и 8 белых? А если 3 черные и 7 белых?

12. К телефонной сети подключено 20 абонентов. Сколькими способами можно одновременно соединить три пары абонентов?

13. У ювелира есть 7 одинаковых рубинов, 8 одинаковых сапфиров и 10 одинаковых изумрудов. Сколькими способами он может отобрать для брошки 4 камня? А 6 камней?

14. В труппе 10 артистов. Сколькими способами можно в течение трех дней занимать в спектакле по 6 артистов так, чтобы составы различались? «Разные составы» означает, что заменен хотя бы один артист.

15. В выпуклом n-угольнике никакие две диагонали не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, отличной от вершины. Сколько точек пересечения диагоналей расположено внутри n-угольника? А сколько их всего на плоскости?

16. Сколькими способами можно сформировать из 16 человек группу, состоящую из 12 человек, если А и Б в группу нельзя включать вместе? А если в группу нельзя вместе включать А, Б и С? А если нельзя включать любую пару из этой тройки?

17. На полке расположены n книг в черных переплетах и m в красных, все книги различные. Сколькими способами их можно расположить так, что n мест слева занимают книги в черных переплетах? А если черные книги должны располагаться подряд? А если никакие две черные книги не должны располагаться рядом?