Пример 80. Построить развертку конической поверхности (рис.306).
Предположим, что для достижения заданной точности построения развертки в коническую поверхность достаточно вписать двенадцатигранную пирамиду. Заданная поверхность имеет плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций P2, поэтому построим развертку только ее передней половины.
Разбиваем верхнее и нижнее основания конической поверхности на двенадцать соответственно равных частей (необходимость разбиения оснований на равные части диктуется стремлением добиться постоянной степени искажения при переходе от кривой к гранной поверхности). Полученные точки каждого из оснований соединяем хордами (на рис.306 хорды не показаны). Проводим ребра пирамиды. Грани пирамиды являются четырехугольниками, поэтому разбиваем их диагоналями на треугольники. Таким образом, половина поверхности описывается двенадцатью треугольниками.
Строим диаграмму истинных величин ребер и диагоналей вписанной пирамиды (см. пример 78).
Строим развертку половины боковой поверхности пирамиды (рис.308). Отложим истинную величину ребра AD пирамиды. Из точки D радиусом, равным длине хорды верхнего основания, сделаем засечку, а из точки A сделаем засечку радиусом, равным длине диагонали AE. Получим точку E. Соединив ее с точками A и D, получим треугольник ADE. Из точки A сделаем засечку хордой нижнего основания, а из точки E - радиусом, равным длине ребра BE. Получим точку B. Соединив ее с точками A и E, получим треугольник ABE. Продолжая построение треугольников, получим развертку передней половины пирамиды.
В практической деятельности часто возникает необходимость в построении развертки неразвертывающейся поверхности. Поскольку неразвертывающаяся поверхность теоретически не имеет развертки, то строят ее так называемую условную развертку. Для этого заданную поверхность, исходя из необходимой точности развертки, разбивают на участки, каждый из которых аппроксимируют развертывающейся поверхностью, а затем строят развертки развертывающихся поверхностей, совокупность которых и принимают за условную развертку заданной поверхности. Как правило, в качестве аппроксимирующих поверхностей используют отсеки плоскостей, цилиндрических и конических поверхностей.
Пример 81. Построить условную развертку поверхности купола (рис.309).
Аппроксимировать заданную поверхность можно отсеками плоскостей. Для этого заданную поверхность необходимо рассечь достаточным количеством меридиональных и горизонтальных плоскостей уровня. Условимся, что для достижения заданной точности построения достаточно разбить заданную поверхность меридиональными плоскостями на шестнадцать одинаковых “лепестков” и горизонтальными плоскостями уровня на четыре “пояса”. При этом в верхнем поясе образуются пространственные равнобедренные треугольники, а в остальных – пространственные равнобочные трапеции.
Рассмотрим, например, трапецию KLMN. Ее стороны KL и MN являются частями соответствующих параллелей, а стороны KM и LN – частями соответствующих меридианов. Если ее криволинейные стороны заменить отрезками прямых, то мы получим плоскую равнобочную трапецию. Основания этой трапеции являются хордами соответствующих параллелей, а боковые стороны – хордами соответствующих меридианов (рис.310). Хорды параллелей проецируются в истинную величину на горизонтальную плоскость проекций (K1L1 и M1N1), а истинная величина боковых сторон равна истинной величине хорд фронтального меридиана (K2M2 = L2N2 = A2B2). Аналогично определяются стороны остальных трапеций и треугольников, входящих в данный “лепесток” и строится его развертка. Совокупность разверток всех лепестков и дает условную развертку поверхности.
В ряде случаев поверхности вращения целесообразно аппроксимировать отсеками конусов и цилиндров.