Метод Эйлера

Заменяя в (1) производную в окрестности каждого i-го узла сетки разностным отношением, приходим к методу Эйлера:

(2)

Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функции, которыми заменяются исходные дифференциальные уравнения в окрестности каждого узла сетки, будем называть разностными уравнениями (соотношениями).

Замкнутую систему разностных уравнений вместе с дополни­тельными условиями (начальными или краевыми) называют раз­ностной схемой. Таким образом, (2) — это разностная схема Эйлера.

Последовательные значения y_i вычисляются по формуле

(3)

которая непосредственно следует из соотношения (2).

Метод Эйлера имеет очень простую геометрическую интер­претацию. Искомая интегральная кривая у(х) на отрезке [а; b] приближается к ломаной (рис. 2), наклон которой на каждом элементарном участке [х_i, х_i+1 ] определяется наклоном инте­гральной кривой уравнения в точке (х_i, у_i).

Рис. 2. Интегральная кривая

Замечание. К этому же методу можно придти, заменяя производную в урав­нении (3) разностным отношением

Последовательные значения y_i в этом случае вычисляются по формуле

Однако при этом возникают некоторые трудности, связан­ные с тем, что искомая величина y_i входит в правую часть урав­нения, причем, в общем случае, нелинейным образом. Эти труд­ности непринципиальны, достаточно вспомнить о методах реше­ния нелинейных уравнений.

Например, можно предложить следующий итерационный процесс для вычисления приближенного решения в очередном i-м узле

Такого рода методы, в которых для вычисления приближен­ного решения в очередном i-м узле необходимо дополнительно решать некоторые уравнения (линейные или нелинейные), на­зываются неявными методами. В противоположность этому мето­ды, в которых приближенное решение в очередном i-м узле явно выражается через предыдущие значения у_i-1, _уi-2, ..., называются явными методами. При этом, если для вычисления y_i использу­ется только одно предыдущее значение у_м, то метод называется одношаговым, а если несколько предыдущих значений — многошаговым. Таким образом, метод Эйлера является явным одношаговым методом (рис. 3).

Рис. 3. Начальный шаг метода Эйлера

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение у' = f(x, у). Найти приближенное численное решение этого дифференциального уравнения, т. е. составить таблицу приближенных значений функции у = у(х), удовлетворяющей заданным начальным условиям

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	…	xn
y	y1	y2	y3	y4	y5	y6	…	yn

где х_i = х₀ + ih, h = — шаг таблицы.

Приближенно можно считать, что правая часть в y'=f(x, у) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле

y – y₀ = f(x₀, y₀)(x-x₀), y = y₀ + f(x₀, y₀)(x-x₀);

если x = x₁, то

y₁ = y₀ + f(x₀ ,y₀)(x₁-x₀), y₁ = y₀ + hf(x₀ ,y₀) y₀ = hf(x₀, y₀);

если x = x₂, то

y₂ = y₁ + f(x₁, y₁)(x₂-x₁), y₂ = y₁ + hf(x₁, y₁) y₁ = hf(x₁, y₁), …

если x = x_i+1, то

y_i+1 = y_i + hf(x_i, y_i) y_i = hf(x_i, y_i).

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул

y_k = hf(x_k, y_k), y_k+1 = y_k+ y_k,

где k = 0, 1, 2, ..., n.

Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [x_i; x_i+1] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (рис. 4, 5).

Рис. 4. Интегральная кривая Рис. 5. Касательная к кривой

Пример 1. Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение

у' = у-х

с начальными условиями х₀ = 0; y₀ = 1,5 на отрезке [0; 1,5] при h = 0,25.

Решение

i	хi	yi
1	2	3	4	5
0	0	1,5	1,5	0,375
1	0,25	1,875	1,625	0,406
2	0,5	2,281	1,781	0,445
3	0,75	2,726	1,976	0,494
4	1	3,22	2,221	0,555
5	1,25	3,775	2,525	0,631
6	1,5	4,407

По начальным данным заполним первую строку в столбцах (2) и (3).

Из уравнения =у_i – х_i вычисляем (i=0, 1, 2, ..., 5) в столбце (4).

К содержимому столбца (3) прибавляем содержимое столбца (5) этой же строки (вычисляем у_i+1 = у_i+ у_i), и результат записы­ваем в столбец (3) следующей строки. Определяем x_i+1=x_i+h и затем шаги повторяем до тех пор, пока не будет пройден весь отрезок.

Пример 2. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение y' = cosy+3x с начальным условием у(0) = 1,3 на от­резке [0; 1], приняв шаг h - 0,2.

Решение

Табличный способ

k	xk	yk	yk= 0,2(cos ук + Зхк)
0	0	1,3	0,05
1	0,2	1,35	0,16
2	0,4	1,52	0,25
3	0,6	1,77	0,32
4	0,8	2,09	0,38
5	1	2,47

Программа_____________________________________________________

var x,y,a,b,h:real; {Метод Эйлера}

function f(x,y:real):real;

begin f:= cos(y)+3*x;

end;

begin

writrln('введите у, a, b, h');

readln(y,a,b,h);

x:=a; repeat

writeln(x:0:3,' ',y:0:3);

y:=y+h*f(x,y);

x:=x+h;

until x>b+0.1;

readln;

end.

Схема алгоритма показана на рис. 6.

Рис. 6. Метод Эйлера

Пример 3. Методом Эйлера решить систему дифференци­альных уравнений

с начальными уравнениями у(0) = 1; z(0) = 1 на отрезке [0; 0,6], шаг интегрирования h = 0,1.

Решение

i	xi	yi				zi
0	0	1	0		0	1	0	0
1	0,1	1	0		0	1	0,2	0,02
2	0,2	1	0,004		0,0004	1,02	0,404	0,0404
3	0,3	1,0004	0,018		0,0018	1,06	0,618	0,0618
4	0,4	1,0022	0,048		0,0048	1,12	0,849	0,085
5	0,5	1,007	0,1001		0,01	1,21	1,107	0,1107
6	0,6	1,017				1,317