Вузли, що мінімізують похибку інтерполяції

Візьмемо на відрізку в якості вузлів інтерполяції корені багаточлена Чебишева , тобто точки:

.

Тоді багаточлен можна записати наступним чином:

і він буде пропорційним багаточлену Чебишева . Множник з’явився тому, що старший коефіцієнт багаточлена дорівнює одиниці, а старший коефіцієнт багаточлена , згідно властивості 2, дорівнює .

Отже, у відповідності до властивості 4, оцінка похибки інтерполяції має вигляд (формула (14)):

, де

оскільки

В силу властивості 5 оцінку похибки покращити в порівнянні з цією оцінкою не можна за рахунок вибору вузлів інтерполяції. Більш того, можна довести, що вибір вузлів інтерполяції у вигляді коренів полінома Чебишева є оптимальним на відрізку .

Таким чином, вузли інтерполяції є оптимальними для оцінки похибки на відрізку .

У випадку інтерполяції на довільному відрізку цей відрізок можна перевести у відрізок шляхом лінійної заміни змінних:

.

Тоді .

При цьому кореням багаточлена Чебишева відповідатимуть точки:

.

Функції , що входять до виразу похибки інтерполяції, в цьому випадку оцінюються виразом:

звідки

,

де - деякий багаточлен Чебишева від порядку , який пов’язаний із багаточленом Чебишева співвідношенням:

,

тому що, згідно властивості 2, старший коефіцієнт багаточлена дорівнює , а старший коефіцієнт багаточлена дорівнює , а їхні корені – це значення вузлів інтерполяції .

Оскільки, згідно властивості 4, , , то оцінюється:

.

Таким чином, у вузлах інтерполяції оцінка похибки інтерполяції набуває вигляду:

, де .

Отже, багаточлени Чебишева використовуються для того, щоб визначити оптимальні вузли інтерполяції функції багаточленом Лагранжа . Корені багаточлена Чебишева є оптимальними вузлами для полінома .

Порівняння багаточленів Лагранжа та Тейлора

Порівняємо способи інтерполяції функцій на відрізку за допомогою багаточлена Тейлора та багаточлена Лагранжа з вузлами, що відповідають кореням багаточлена Чебишева.

При побудові багаточлена Тейлора доцільно обирати точку х₀ всередині відрізка , тобто . Тоді, у відповідності з формулою для оцінки максимальної похибки:

.

Можна сказати, що похибка багаточлена Тейлора у разів більша, ніж похибка багаточлена Лагранжа з оптимальними вузлами.

Якщо похідна відносно мало змінюється на відрізку , то обидві ці похибки мало перевищують максимальне значення, а якщо , то кожна з нерівностей перетворюється на рівність.

На всьому відрізку похибка багаточлена Лагранжа менша. Крім того, для багаточленів Лагранжа не треба обчислювати значення похідних функцій, а лише значення самої функції. Похибка інтерполяційного багаточлена Лагранжа більш рівномірно розподілена на відрізку , ніж у багаточлена Тейлора. Таким чином, поліном Лагранжа з вузлами інтерполяції, що являють собою корені многочлена Чебишева, має перевагу.

Контрольні питання для самоперевірки

1) Сформулюйте задачу інтерполяції функції.

2) Який багаточлен називають інтерполяційним?

3) Які точки називають вузлами інтерполяції?

4) Що таке глобальна інтерполяція?

5) Що таке локальна інтерполяція?

6) Яке наближення називають екстраполяцією?

7) Який багаточлен називають інтерполяційним багаточленом Лагранжа?

8) Наведіть інтерполяційний багаточлен Лагранжа для випадку лінійної інтерполяції.

9) Наведіть інтерполяційний багаточлен Лагранжа для випадку квадратичної інтерполяції.